物理基礎 / 力と運動の法則

糸でつながれた2物体を引く

★★ 標準連結体運動方程式張力

問題

なめらかな水平面上で、質量 $3.0 kg$ の物体 A と質量 $2.0 kg$ の物体 B を軽い糸でつなぎ、A を水平方向に $15 N$ の一定の力で引いた(B が後ろにつながれている)。

(1) 2 物体の加速度の大きさを求めよ。

(2) A と B をつなぐ糸の張力の大きさを求めよ。

ヒントを見る

糸でつながれた 2 物体は同じ加速度で動く。まず「全体で 1 つの物体」と見て加速度を出し、次に B だけの運動方程式を立てよう。

解答・解説

一緒に動くので加速度は共通。全体をひとまとめにして a を出し、次に B だけに注目して張力を出す、の 2 段構え。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 連結体の定石は、「全体」と「一部」の 2 回、運動方程式を立てること。

全体で見れば糸の張力は内部の力なので消えて、加速度が出る。次に片方だけに注目すれば、張力が表に出てくる。

① 全体で加速度を出す。

全体の質量は $3.0 + 2.0 = 5.0 kg$ 。外から加わる水平の力は $15 N$ だけ。

$5.0 \times a = 15 ⟹ a = 3.0 m/ s^{2}$

② B だけに注目して張力を出す。

A を 15 N で引くと、糸の張力 T が B を引く

B を引く水平方向の力は糸の張力 $T$ だけ。B も加速度 $3.0 m/ s^{2}$ で動くから

$2.0 \times 3.0 = T ⟹ T = 6.0 N$

まとめ 検算に A の式も立てておく。A には引く力 $15 N$ (前向き)と張力 $6.0 N$ (後ろ向き)がはたらき、 $3.0 \times 3.0 = 15 - 6.0 = 9.0$ ✓。どの物体に注目しているかを一問ごとに宣言するのが連結体の作法だ。

答

(1) $3.0 m/ s^{2}$ (2) $6.0 N$

張力を質量の比で見抜くルート(得意な人向け)。 張力は「後ろの B を引っぱるためだけの力」。全体を加速する力 $15 N$ のうち、B の受け持ち分は質量の比で

$T = 15 \times \frac{2.0}{5.0} = 6.0 N$

加速度が共通だから、必要な力は質量に比例して配分される。列車の連結器にかかる力が後ろの車両の総質量で決まるのと同じ理屈で、編成のどこの連結器が最も強く引かれるかも即答できる(先頭側ほど大きい)。