斜面上のつり合い(糸で支える)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 斜面のつり合いは、平行・垂直の 2 方向に分けて、それぞれ独立につり合いの式を立てる。座標軸を斜面に合わせれば、分解が必要なのは重力 1 本だけになる。

① はたらく力と分解。

重力 $mg=49\mathrm{N}$ を分解して、平行成分 $mg\sin \theta =29.4\mathrm{N}$、垂直成分 $mg\cos \theta =39.2\mathrm{N}$。ほかに張力 $T$(斜面上向き)、垂直抗力 $N$(斜面に垂直)。

② 各方向のつり合い。

• 平行方向: $T=mg\sin \theta =29.4\mathrm{N}$
• 垂直方向: $N=mg\cos \theta =39.2\mathrm{N}$

まとめ 垂直抗力が $mg$ でなく $mg\cos \theta$ になっている点に注目。斜面では物体の重さの一部を糸が受け持つぶん、面への押しつけが弱くなる。垂直抗力は毎回つり合い(または運動方程式)から決める — 水平床の $N=mg$ を条件反射で書かないこと。

別解

3:4:5 の比で一気に出すルート(苦手な人向け)。 重力の分解図は斜面の三角形と相似(3:4:5)。斜辺=重力 $49\mathrm{N}$ に対して

• 平行成分 $=49\times \frac{3}{5}=29.4\mathrm{N}$ — これを糸が全部受け持つ → $T=29.4\mathrm{N}$
• 垂直成分 $=49\times \frac{4}{5}=39.2\mathrm{N}$ — これを斜面が押し返す → $N=39.2\mathrm{N}$

「分解した 2 成分を、糸と斜面が 1 つずつ受け持つ」という分担の絵で覚えると、式を忘れても再現できる。