2本の糸でつるしたおもり(対称)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 糸が斜めなら、張力を成分に分解してつり合いを考える。左右対称の配置では水平成分は自動的に打ち消し合うので、鉛直方向の式 1 本で解ける。

① 張力の鉛直成分。

張力 $T$ は鉛直と $60^{\circ }$ をなすから、鉛直成分は $T\cos 60^{\circ }=0.50T$。

② 鉛直方向のつり合い。

2 本分の鉛直成分が重力を支える。

$$2\times 0.50T=mg=1.0\times 9.8=9.8$$

$$T=9.8\mathrm{N}$$

まとめ 張力がちょうど重力と同じ値になったのは偶然ではない。$2\cos 60^{\circ }=1$ だからだ。角を開くほど($60^{\circ }$ より大きくすると)$\cos$ が小さくなり、張力は重力より大きくなっていく。水平に近いロープで物を吊ると張力が跳ね上がる — 洗濯ロープがピンと張れない理由がこの式に入っている。

発展 — 一歩先へ。 角を $90^{\circ }$ に近づける(糸を水平にする)と $\cos \to 0$ で $T\to \infty$。完全に水平な糸で重さのあるものを支えることは、どんなに強い糸でも原理的にできない。

別解

力の三角形で見るルート(得意な人向け)。 つり合う 3 力(張力 2 本と重力)は、矢印をつなぐと閉じた三角形になる。

対称な配置では、この三角形は頂角 $120^{\circ }$($60^{\circ }\times 2$)の二等辺三角形で、底辺が重力 $9.8\mathrm{N}$。頂角 $120^{\circ }$ の二等辺三角形は、実は正三角形を半分に…ではなく、等辺と底辺の比が $1:\sqrt{3}$…を確かめるより早く、この場合は各底角が $30^{\circ }$ で、正弦定理から等辺 $=9.8\times \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}\cdot \dots$ と計算するより、成分法(本解)が結局速い。力の三角形は「3 力がつり合う=矢印が一周して閉じる」という描像として持っておき、計算は成分で行う、が実戦的な使い分けだ。