浮力の大きさ(アルキメデスの原理)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 浮力の大きさは押しのけた水の重さに等しい。これがアルキメデスの原理だ。

完全に沈んでいるから、押しのけた水の体積=物体の体積 $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$。

① 浮力を求める。

押しのけた水の質量は $1.0\times 10^3\times 2.0\times 10^{-3}=2.0\mathrm{kg}$。その重さが浮力だから

$$F=2.0\times 9.8=19.6\mathrm{N}$$

② 浮くか沈むか。

物体の重力は $W=3.0\times 9.8=29.4\mathrm{N}$。

$$W=29.4\mathrm{N}>19.6\mathrm{N}=F$$

重力が勝つので沈む。合力は下向きに $29.4-19.6=9.8\mathrm{N}$。

まとめ 浮くか沈むかは、結局物体の密度と水の密度の比較と同じことだ。この物体の密度は $3.0÷(2.0\times 10^{-3})=1.5\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ で水より大きい → 沈む。「密度の大きいものは沈む」という日常の感覚が、浮力の式でそのまま正当化される。

別解

同じ体積の水と入れ替えるルート(苦手な人向け)。 物体のあった場所に、同じ形の「水のかたまり」($2.0\mathrm{kg}$)を置いたと想像する。水のかたまりは浮きも沈みもしない — まわりの水が支えてくれているからだ。

その支える力(=浮力)は、水のかたまりの重さ $19.6\mathrm{N}$ にちょうど等しい。物体に入れ替えても、まわりの水が押す力は同じ $19.6\mathrm{N}$。これがアルキメデスの原理の意味そのものだ。