物理基礎 / 力と運動の法則

水圧の計算

★ 基礎圧力水圧

問題

水面での大気圧を $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、水の密度を $1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

(1) 水深 $2.0 m$ での、水だけによる圧力(水圧)を求めよ。

(2) 水深 $2.0 m$ で物体が受ける圧力(大気圧を含む)を求めよ。

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水圧は「その深さより上にある水の重さ」が押す圧力。深さ h との関係式に、密度と g を代入しよう。

解答・解説

水圧は P=ρgh(深さに比例)。水中の物体には、その上の大気の圧力も伝わるので、全体は大気圧+ρgh。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水圧の正体は、その深さより上に載っている水の重さだ。深くもぐるほど上に載る水が増えるから、圧力は深さに比例する。

公式水圧

P = ρ g h

(

ρ

: 水の密度、

h

: 深さ)

① 水だけによる圧力。

$P = 1.0 \times 1 0^{3} \times 9.8 \times 2.0 = 1.96 \times 1 0^{4} Pa$

② 大気圧を含める。

水面には大気がのしかかっており、その圧力は水中にもそのまま伝わる。

$P_{全} = 1.0 \times 1 0^{5} + 1.96 \times 1 0^{4} = 1.196 \times 1 0^{5} \approx 1.2 \times 1 0^{5} Pa$

水圧は深さに比例する。深さ 2.0 m の点での水圧 P=ρgh

まとめ 大気圧 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ は水深約 $10 m$ 分の水圧に相当する。つまり水面はすでに「約 $10 m$ の空気の水」の底にいるようなもの。 $2.0 m$ もぐって増えるのは、その 2 割ほどだ。

発展 — 一歩先へ。 $P = ρ g h$ を導くには、深さ $h$ ・断面積 $S$ の水柱を考える。水柱の重さは $ρS h g$ 、これを断面積 $S$ で割ると $ρ g h$ — 面積が消えて深さだけが残る。だから水圧は容器の形や太さによらない(パスカルの原理につながる事実)。

答

(1) $1.96 \times 1 0^{4} Pa$ (2) 約 $1.2 \times 1 0^{5} Pa$

水柱の重さから導くルート(得意な人向け)。 断面積 $1.0 m^{2}$ 、深さ $2.0 m$ の水柱を考えると、体積 $2.0 m^{3}$ 、質量 $2.0 \times 1 0^{3} kg$ 、重さ $1.96 \times 1 0^{4} N$ 。

これが $1.0 m^{2}$ の底面を押すから、圧力は $1.96 \times 1 0^{4} Pa$ 。公式を忘れても、水柱を 1 本立てれば自力で復元できる。