物理基礎 / 力と運動の法則

斜面上の重力の分解

★ 基礎力の分解斜面

問題

傾きが「水平 $4$ 、高さ $3$ 」の斜面( $sin θ = 0.60$ 、 $cos θ = 0.80$ )上に、質量 $5.0 kg$ の物体が置かれている。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。物体にはたらく重力を、斜面に平行な成分と斜面に垂直な成分に分解し、それぞれの大きさを求めよ。

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斜面の問題では、真下向きの重力を「斜面に沿う向き」と「斜面に垂直な向き」に分けて考える。どちらに sin がつくか、図の直角三角形で確かめよう。

解答・解説

方針

斜面の問題は「斜面に平行・垂直」の2方向に力を分解するのが定石。重力 mg を sin と cos で振り分ける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 斜面上の物体は「斜面に沿って」動く。だから力も、斜面に平行な方向と垂直な方向に分けて考えるのがいちばん見通しがよい。

分解するのは重力だけだ(張力や垂直抗力は最初から平行か垂直を向いている)。

① 重力の大きさ。

$W = m g = 5.0 \times 9.8 = 49 N$

② 分解する。

重力 W を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解する

斜面の傾きの角を $θ$ とすると、図の直角三角形から

斜面に平行(すべり落とそうとする向き): $W sin θ = 49 \times 0.60 = 29.4 N$
斜面に垂直(斜面に押しつける向き): $W cos θ = 49 \times 0.80 = 39.2 N$

まとめ 「平行が $sin$ 」の覚え方は、斜面を水平に倒した極端な場合を考えるとよい。 $θ = 0$ ならすべり落ちる力は $0$ のはず — $sin 0 = 0$ だから平行成分が $sin$ 側だ。逆に斜面を垂直に立てれば( $θ = 9 0^{\circ}$ )全部すべり落ちる。極端な場合での検算は文字式でも数値でも効く。

答

平行成分 $m g sin θ = 29.4 N$ 、垂直成分 $m g cos θ = 39.2 N$

別解

3:4:5 の相似で見るルート(苦手な人向け)。 この斜面は 3:4:5 の直角三角形。重力の分解図に現れる直角三角形は、斜面の三角形と相似になる(角 θ を共有するから)。

だから成分の比も 3:4:5。斜辺にあたるのが重力 $49 N$ で、

平行成分 = $49 \times \frac{3}{5} = 29.4 N$
垂直成分 = $49 \times \frac{4}{5} = 39.2 N$

三角比を使わず、相似比だけで分解できる。検算 $29. 4^{2} + 39. 2^{2} = 4 9^{2}$ (三平方)も効く。

ポイント

斜面の問題は平行・垂直の 2 方向に分解
平行成分が mg sinθ、垂直成分が mg cosθ
θ=0 の極端な場合で sin と cos の配置を検算

よくある間違い

sin と cos を逆にする(θ=0 で平行成分が 0 になるかで確認)
分解した成分と元の重力を全部同時に図へ描いて二重に数える(分解したら元の 1 本は消す)
垂直成分を垂直抗力そのものと混同する(垂直抗力は斜面が押し返す別の力。大きさが等しくなるだけ)