物理基礎 / 力と運動の法則

水平な糸と斜めの糸でつるす(非対称のつり合い)

★★★ 応用力のつり合い力の分解張力

問題

質量 $3.0 kg$ のおもりに 2 本の軽い糸をつける。糸 2 は天井の点から斜めに張られ、鉛直方向と角 $θ$ ( $sin θ = 0.80$ 、 $cos θ = 0.60$ )をなす。糸 1 は壁から水平に張られている。おもりは静止している。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

壁からの水平な糸 1 と、天井からの斜めの糸 2 でおもりをつるす

(1) 斜めの糸 2 の張力 $T_{2}$ を求めよ。

(2) 水平な糸 1 の張力 $T_{1}$ を求めよ。

ヒントを見る

水平・鉛直の 2 方向に分けよう。鉛直方向の力は重力と、斜めの糸の鉛直成分だけ — まず T₂ が決まる。

解答・解説

方針

3 力(重力・水平張力・斜め張力)のつり合い。鉛直方向は斜め糸だけが重力を支えるので、鉛直の式から T₂、水平の式から T₁ の順に決まる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 非対称の 3 力のつり合いは、水平・鉛直に分解して 2 本の式を立てる。解く順番にコツがあり、未知数が 1 つしかない方向から手をつける。

鉛直方向を見ると、上向きの力は糸 2 の鉛直成分だけ(糸 1 は水平なので鉛直成分ゼロ)。だから鉛直の式から $T_{2}$ が先に決まる。

① 鉛直方向のつり合い。

糸 2 の鉛直成分は $T_{2} cos θ = 0.60 T_{2}$ 。重力は $m g = 29.4 N$ 。

$0.60 T_{2} = 29.4 ⟹ T_{2} = 49 N$

② 水平方向のつり合い。

糸 2 の水平成分 $T_{2} sin θ = 49 \times 0.80 = 39.2 N$ と、糸 1 の張力がつり合う。

$T_{1} = 39.2 N$

まとめ 斜めの糸の張力 $49 N$ は、おもりの重さ $29.4 N$ よりずっと大きい。斜めに支えると、鉛直成分しか重力を受け持てないため、張力そのものは大きくなるからだ。3 つの力(29.4、39.2、49)が 3:4:5 になっていることにも注目 — 力の三角形が糸の幾何と相似になっている。

答

(1) $T_{2} = 49 N$ (2) $T_{1} = 39.2 N$

別解

力の三角形(3:4:5)で見るルート(得意な人向け)。 つり合う 3 力は、矢印をつないで閉じた三角形をつくる。重力(鉛直)と $T_{1}$ (水平)は直交するから、この三角形は直角三角形で、斜辺が $T_{2}$ 。

糸 2 の向き( $sin θ = 0.80$ 、 $cos θ = 0.60$ )から、三角形の辺の比は $3 : 4 : 5$ 。鉛直の辺=重力 $29.4 N$ が「3」に当たるから、1 目盛 $9.8 N$ で

$T_{1} = 4 \times 9.8 = 39.2 N, T_{2} = 5 \times 9.8 = 49 N$

成分の式を立てずに、比例配分だけで解けてしまう。3 力のつり合い=閉じた三角形、という描像は覚えておく価値がある。

ポイント

未知数が 1 つの方向(鉛直)から解く
斜め支えの張力は重力より大きくなる
3 力のつり合い=力の三角形が閉じる

よくある間違い

sin と cos の割り当てを誤る(θ は鉛直との角。鉛直成分が cosθ)
水平の糸 1 に鉛直成分を持たせてしまう(水平な糸は水平にしか引けない)
T₂ を重力と等しい 29.4 N とする(鉛直成分だけが 29.4 N。張力はそれより大きい)