斜面を傾けていくと滑り出す角(摩擦角)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 板を傾けていくと、滑らせようとする力 $mg\sin \theta$ は増え、面への押しつけ $mg\cos \theta$(=摩擦の上限のもと)は減る。攻め手が増え、守り手が減るのだから、どこかで限界が来る。

「滑り出す直前」=平行成分が最大摩擦力にちょうど達した瞬間、と式にする。

① 滑り出す直前の条件。

垂直方向のつり合いから $N=mg\cos {\theta }_0$。滑り出す直前は

$$mg\sin {\theta }_0={\mu }_{0}N={\mu }_{0}mg\cos {\theta }_0$$

両辺を $mg\cos {\theta }_0$ で割って

$$\tan {\theta }_0={\mu }_0$$

質量も $g$ も消えた。滑り出す角は物体の重さによらない。

② 滑り出した後。

摩擦は動摩擦に切り替わる。摩擦つき斜面の式で

$$a=g(\sin {\theta }_0-{\mu }^{\prime }\cos {\theta }_0)=9.8\times (0.60-0.50\times 0.80)=9.8\times 0.20=1.96m/{\mathrm{s}}^2$$

まとめ $\tan {\theta }_0={\mu }_0$ の角 ${\theta }_0$ を摩擦角という。板を傾けて滑り出す角を測れば、分度器 1 本で ${\mu }_0$ が測定できる(${\mu }_0=\tan {\theta }_0$)。滑り出した直後に加速するのは、動摩擦が静止摩擦の上限より小さい(${\mu }^{\prime }<{\mu }_0$)からで、もし ${\mu }^{\prime }={\mu }_0$ なら滑り出してもつり合ったまま等速で滑る。

発展 — 一歩先へ。 砂山が自然に作る斜面の角(安息角)も同じ原理で決まる。砂粒どうしの摩擦係数が山の傾きの上限 $\tan \theta =\mu$ を決めるので、同じ砂ならどんなに大きい山でも傾きは同じになる。

別解

成分のグラフで交差点を見るルート(苦手な人向け)。 横軸に $\theta$ をとり、「滑らせる力 $mg\sin \theta$(増加)」と「摩擦の上限 ${\mu }_{0}mg\cos \theta$(減少)」の 2 本の曲線を思い浮かべる。

$\theta$ が小さいうちは上限の方が上にあり静止。2 本が交わる角が滑り出しの ${\theta }_0$ で、交点の条件 $\sin {\theta }_0={\mu }_0\cos {\theta }_0$ を割り算すれば $\tan {\theta }_0={\mu }_0$。「増える攻め手と減る守り手の交差点」という絵で覚えると、式を忘れても立て直せる。