水中でのばねばかりの読み(密度の測定)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ばねばかりの読み=張力だ。水中では浮力が持ち上げてくれるぶん張力が減る。つまり読みの差がそのまま浮力。

浮力がわかれば体積が、空中の読みから質量がわかるから、密度まで一直線に決まる。王冠が純金かどうかを見破ったというアルキメデスの逸話は、まさにこの測定だ。

① 浮力。

水中でのつり合いは「張力+浮力=重力」。よって

$$F=7.84-5.88=1.96\mathrm{N}$$

② 体積。

$F={\rho }_{\text{水}}Vg$ より

$$V=\frac{1.96}{1.0\times 10^3\times 9.8}=2.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^3$$

③ 密度。

空中の読みから質量は $m=\frac{7.84}{9.8}=0.80\mathrm{kg}$。

$$\rho =\frac{m}{V}=\frac{0.80}{2.0\times 10^{-4}}=4.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$$

まとめ 定規もメスシリンダーも使わず、ばねばかり 2 回の読みだけで体積と密度が測れた。形が複雑な物体でも通用するのがこの方法の強みだ。ちなみに $4.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ は金($19.3\times 10^3$)にはほど遠い — この「王冠」は偽物ということになる。

別解

読みの比で密度を出すルート(得意な人向け)。 空中の読みは $\rho Vg$(物体の密度 $\rho$)、浮力は ${\rho }_{\text{水}}Vg$。比をとると $Vg$ が消えて

$$\frac{\text{浮力}}{\text{空中の読み}}=\frac{{\rho }_{\text{水}}}{\rho }⟹\rho ={\rho }_{\text{水}}\times \frac{7.84}{1.96}=4.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$$

体積を経由せず、読みの比 $4:1$ から密度が水の $4$ 倍と即断できる。比で消える量を探すのは、測定の設計そのものだ。