物理基礎 / 力と運動の法則

v-tグラフから動摩擦係数を求める

★★★ 応用動摩擦力v-tグラフ実験

問題

水平な床の上で物体を滑らせ、速度を測ったところ、図のように初速度 $9.8 m/s$ から一定の割合で減速し、 $4.0 s$ で静止した。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

滑走中の v-tグラフ。傾きが −μ'g、三角形の面積が滑走距離

(1) 物体と床の間の動摩擦係数 $μ^{'}$ を求めよ。

(2) 静止するまでに滑った距離を求めよ。

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減速の加速度はグラフの傾きから読める。動摩擦だけで減速する物体の加速度は a=μ'g だった — これを μ' について解けば、観測から係数が決まる。

解答・解説

グラフの傾きから加速度を読み、a=μ'g の関係から μ' を逆算する。距離は v-tグラフの三角形の面積。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 動摩擦係数は表で与えられるものではなく、実験で測る量だ。測り方はこの問題の流れそのもの: 滑らせて、減速の様子(v-tグラフ)を記録し、加速度から逆算する。

① 傾きから加速度、そして μ'。

$a = \frac{0 - 9.8}{4.0} = - 2.45 m/ s^{2}$

動摩擦だけで減速する物体では、運動方程式 $ma = - μ^{'} m g$ より $∣ a ∣ = μ^{'} g$ 。よって

$μ^{'} = \frac{2.45}{9.8} = 0.25$

② 滑った距離。

v-tグラフの三角形の面積で

$x = \frac{1}{2} \times 4.0 \times 9.8 = 19.6 m$

まとめ $∣ a ∣ = μ^{'} g$ に質量が出てこないので、物体の質量を測らなくても μ' が決まるのがこの実験の便利なところ。グラフが直線であること自体が「動摩擦力は速さによらず一定」という法則の実験的な証拠にもなっている。

発展 — 一歩先へ。 同じ床でも、動き出す瞬間を調べれば静止摩擦係数 μ₀ が測れる(床をゆっくり傾けて滑り出す角から tanθ₀=μ₀)。この 2 つの測定を組み合わせるのが、摩擦の実験の定番の構成だ。

答

(1) $μ^{'} = 0.25$ (2) $19.6 m$

距離を公式で出すルート(検算)。 面積を使わずに、時間を含まない公式でも

$x = \frac{v _{0}^{2}}{2∣ a ∣} = \frac{9. 8 ^{2}}{2 \times 2.45} = \frac{96.04}{4.9} = 19.6 m$

面積(グラフ)と公式(式)の両方で同じ値が出ることを確かめておくと、どちらか一方をど忘れしても復元できる。