摩擦のある斜面を上って戻る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 なめらかな斜面なら行きと帰りは対称だった。しかし摩擦があると、摩擦力は運動と逆向きなので、上りでは重力成分と同じ側(ブレーキ)、下りでは重力成分と逆側(やはりブレーキ)にはたらく。

つまり行きと帰りで加速度の大きさが変わる。対称性は崩れ、戻ってきたときの速さは出発時より遅くなるはずだ。この見通しを持って計算に入る。

① 上りの加速度。

斜面下向きの力: 重力成分 $mg\sin \theta$ と、動摩擦力 ${\mu }^{\prime }mg\cos \theta$(運動=上向きと逆なので下向き)。

$$a_1=g(\sin \theta +{\mu }^{\prime }\cos \theta )=9.8\times (0.60+0.25\times 0.80)=9.8\times 0.80=7.84m/{\mathrm{s}}^2$$

(減速の大きさ。)

② 上る距離。

$$d=\frac{v_0^2}{2a_1}=\frac{5.6^2}{2\times 7.84}=\frac{31.36}{15.68}=2.0\mathrm{m}$$

③ 戻ったときの速さ。

下りの加速度は摩擦の向きが変わって

$$a_2=g(\sin \theta -{\mu }^{\prime }\cos \theta )=9.8\times 0.40=3.92m/{\mathrm{s}}^2$$

同じ $2.0\mathrm{m}$ を下って

$$v=\sqrt{2\times 3.92\times 2.0}=\sqrt{15.68}=2.8\sqrt{2}\approx 4.0m/s$$

出発時の $5.6m/s$ より確かに遅い。

まとめ 速さの比を見ると $\frac{v}{v_0}=\sqrt{\frac{a_2}{a_1}}=\sqrt{\frac{0.40}{0.80}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。失われた分は摩擦が奪ったエネルギーで、次の単元(仕事とエネルギー)でこの損失を直接計算できるようになる。

別解

比の構造で見抜くルート(得意な人向け)。 同じ距離 $d$ を、行きは $v_0^2=2a_{1}d$、帰りは $v^2=2a_{2}d$ で結ぶから、$d$ を消して

$$\frac{v^2}{v_0^2}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\sin \theta -{\mu }^{\prime }\cos \theta }{\sin \theta +{\mu }^{\prime }\cos \theta }$$

数値では $\frac{0.40}{0.80}=\frac{1}{2}$ なので $v=\frac{v_0}{\sqrt{2}}=\frac{5.6}{\sqrt{2}}=2.8\sqrt{2}m/s$。距離を計算せずに(2)を飛ばして(3)に到達できる。比で結ぶと、途中の量が消えて構造だけが残る。