机の端の滑車で吊る(水平と鉛直の連結)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 A は水平、B は鉛直と、動く方向は違うが、糸でつながっている以上速さも加速度の大きさも共通だ。滑車は向きを変えるだけで、張力の大きさも糸の両端で等しい。

あとは定滑車の問題と同じ。各物体の「進む向き」を正にして式を並べる。

① 各物体の運動方程式。

A(水平、糸に引かれる向きを正): 水平方向の力は張力だけ。

$$3.0a=T$$

B(鉛直下向きを正): 重力と張力。

$$1.0a=1.0\times 9.8-T$$

② 連立を解く。

足すと $T$ が消えて

$$4.0a=9.8⟹a=2.45m/{\mathrm{s}}^2$$

A の式から $T=3.0\times 2.45=7.35\mathrm{N}$。

まとめ 構造は「全体 $4.0\mathrm{kg}$ を、B の重さ $9.8\mathrm{N}$ だけが引っぱる」。A の重力と垂直抗力は鉛直方向でつり合っていて、運動には顔を出さない。動きを駆動する力はどれかを見抜くと、系全体が 1 行で読める。

発展 — 一歩先へ。 もし机に摩擦(動摩擦係数 ${\mu }^{\prime }$)があれば、駆動力から摩擦 ${\mu }^{\prime }{m}_{A}g$ が差し引かれ、$a=\frac{(m_B-{\mu }^{\prime }{m}_A)g}{m_A+m_B}$ になる。分子が負なら動かない(動き出さない)。式の各部品が物理の役割と 1 対 1 に対応している。

別解

全体を 1 本の系と見るルート(得意な人向け)。 糸を伸ばして 1 直線と見ると、全体 $4.0\mathrm{kg}$ を動かす外力は B の重力 $9.8\mathrm{N}$ だけ(A の重力は垂直抗力と相殺)。

$$a=\frac{9.8}{4.0}=2.45m/{\mathrm{s}}^2$$

張力は「A を引く係」だから A だけの式で $T=3.0\times 2.45=7.35\mathrm{N}$。定滑車(両側吊り)との違いは、片側の重力が駆動に参加しない点だけだ。