統計的な推測 ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 個のさいころの和 $S$ を、いきなり $36$ 通り数えにいかない。

まず $1$ 個の目 $X$ の期待値と分散を求める。部品を先に調べるのだ。$2$ 個の目は独立だから、$S=X_1+X_2$ の期待値も分散も、部品の和になる。

「和の期待値・分散は、独立なら部品の和」。この分解の発想が主題だ。

① $1$ 個の目の期待値。

$$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$$

② $1$ 個の目の分散。 $E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$。

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}$$

③ $2$ 個の和にする。 $2$ 個は独立。

$$E(S)=2E(X)=2\cdot \frac{7}{2}=7$$

$$V(S)=2V(X)=2\cdot \frac{35}{12}=\frac{35}{6}$$

まとめ:さいころの和は「$1$ 個ぶんを求めて独立性で足す」。期待値は和、分散も和(独立だから)。$V(S)=2V(X)$ であって $2^{2}V(X)$ ではない($2X$ とは違う。$X_1+X_2$ は別々の変数の和)ことに注意。

発展。 「独立なら分散も足せる」のは、共分散という量が消えるからだ。

一般には $V(X_1+X_2)=V(X_1)+V(X_2)+2\mathrm{Cov}(X_1,X_2)$ が成り立つ。$\mathrm{Cov}$ は $2$ つの変数が連動する度合いを測る。$2$ 個のさいころは互いに影響しないので $\mathrm{Cov}=0$。だから余分な項が消え、分散がそのまま足せた。

もし片方の目がもう片方に影響するなら $\mathrm{Cov}\ne 0$ となり、和の散らばりは単純な足し算からずれる。独立という条件を使っている。

別解

別解:和の分布を直接作って計算する(苦手な人向けの直接ルート)。 独立性を使わず、$S$ の分布そのものからも $E,V$ が出せる。

$2$ 個の目の出方は全部で $36$ 通り。和 $S$ が $2,3,\dots ,12$ になる場合の数は、順に $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$(合計 $36$)。この左右対称な三角形の分布から計算する。

期待値は左右対称の中心だから $E(S)=7$。分散は「$2$ 乗の期待値 $-$ 期待値の $2$ 乗」で求める。

$$E(S^2)=\frac{1}{36}\sum _{k=2}^{12}{k}^2\cdot (\text{場合の数})=\frac{1974}{36}=\frac{329}{6}.$$

よって $V(S)=\frac{329}{6}-7^2=\frac{329-294}{6}=\frac{35}{6}$。部品に分けて独立性で足す本解と同じ $E(S)=7$、$V(S)=\frac{35}{6}$。分布を直接使うと計算は増えるが、独立性の公式を思い出せなくても答えにたどり着ける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $B(100,\frac{1}{2})$ は試行回数が多い。こういう大きな二項分布は、正規分布で近似できる。

近似先は $N(50,5^2)$。平均 $np=50$、標準偏差 $\sqrt{npq}=5$ をまず出す。あとは $X=60$ を標準化し、右のすそ野の面積(確率)を読む。

「大きな二項分布 → 正規近似 → 標準化 → 表」という流れに乗せる。

① 平均・標準偏差を出す。 $X\sim B\left(100,\frac{1}{2}\right)$。

$$np=50,\sigma =\sqrt{100\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5$$

よって $X\approx N(50,5^2)$。

② 標準化する。 $X=60$。

$$Z=\frac{60-50}{5}=2$$

③ 確率を求める。 右のすそ野。

$$P(X\geqq 60)=P(Z\geqq 2)=0.5-0.4772=0.0228$$

まとめ:正規近似は「$N(np,npq)$ で近似して標準化」。$\sigma =\sqrt{npq}=5$ を正確に。$P(Z\geqq 2)$ のような右すそは、全体の右半分 $0.5$ から中央〜$z$ の面積を引く。約 $2.3\%$ という小さい確率だ。

発展。 二項分布は本来とびとびの値をとるのに、なめらかな正規分布で近似している。ここに小さなずれの原因がある。

より正確にするには、$X=60$ の左端 $59.5$ を境目に使う「半整数補正」がある。$Z=\frac{59.5-50}{5}=1.9$ となり、確率は約 $0.0287$。二項分布の正確な値(約 $0.028$)にぐっと近づく。

この近似の精度がよいのは、$np$ と $n(1-p)$ がどちらも $5$ 以上のとき。今回は $np=n(1-p)=50$ で十分大きく、近似の精度も高い。

別解

別解:中央の帯から左右対称のすそを取り出す(苦手な人向けの視覚ルート)。 右すそを直接読むかわりに、真ん中の帯から攻める。

$X=60$ は平均 $50$ から標準偏差 $2$ 個ぶん上、$X=40$ はちょうど $2$ 個ぶん下。標準化すると $Z=\pm 2$ にあたる。表より、中央 $-2\le Z\le 2$ の帯の面積は $2\times 0.4772=0.9544$。釣鐘全体は $1$ だから、両側のすそ野を合わせると $1-0.9544=0.0456$。

硬貨は公正で分布は左右対称だから、この $0.0456$ を半分ずつに分ける。片側のすそが

$$P(X\geqq 60)=\frac{0.0456}{2}=\mathrm{0.0228.}$$

右すそを直接引く本解と同じ $0.0228$。「中央の帯 → 残りを対称に二等分」という見方は、左右対称な分布でミスが起きにくい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ふつうの推定は $n$ から幅を出す。この問題は逆で、幅の条件から $n$ を決める。

信頼区間の幅は $2\times 1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。まずこれを式で書く。「幅を $4$ 以下に」を、$n$ についての不等式で表す。

解いて出た値を超える最小の自然数が答えだ。信頼区間を逆から使って標本サイズを設計する。

① 幅の不等式を立てる。 幅 $\leqq 4$。

$$2\times 1.96\times \frac{10}{\sqrt{n}}\leqq 4$$

② $\sqrt{n}$ について解く。 左辺は $\frac{39.2}{\sqrt{n}}$。

$$\frac{39.2}{\sqrt{n}}\leqq 4\Rightarrow \sqrt{n}\geqq \frac{39.2}{4}=9.8$$

③ $n$ について解く。 両辺を $2$ 乗する。

$$n\geqq 9.8^2=96.04$$

④ 最小の自然数を選ぶ。 $n$ は $96.04$ 以上の最小の自然数。

$$n=97$$

まとめ:「幅を◯◯以下に」は幅 $=2\times 1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ の不等式を $n$ について解く。$\sqrt{n}$ を $2$ 乗する段階で $96.04$ が出るので、これを超える最小の整数 $97$ を選ぶ($96$ では幅がわずかに $4$ を超える)。

発展。 この計算は、母標準偏差 $\sigma$ があらかじめ分かっているという前提に立っている。

だが現実には $\sigma$ も未知で、標本から推定することが多い。推定したぶんだけ不確かさが増える。そのときは正規分布ではなく、少しすそが広い $t$ 分布という分布を使って区間を作る。標本が大きくなるほど、$t$ 分布は正規分布に近づいていく。

だから $n$ が大きい今回のような場合は、$\sigma$ を推定値で置きかえても、正規分布による見積もりでほぼ間に合う。

別解

別解:$n=96$ と $n=97$ を直接あてはめて確かめる(苦手な人向けの確認ルート)。 不等式を解くのが不安なら、境目あたりの $n$ を実際に代入して幅を比べればよい。

幅は $\frac{2\times 1.96\times 10}{\sqrt{n}}=\frac{39.2}{\sqrt{n}}$。$n=96$ のとき、$\sqrt{96}\approx 9.798$ で幅は $\frac{39.2}{9.798}\approx 4.001$。わずかに $4$ を超えてしまう。$n=97$ のとき、$\sqrt{97}\approx 9.849$ で幅は $\frac{39.2}{9.849}\approx 3.980$。$4$ 以下におさまる。

だから条件を満たす最小の標本は $n=97$。不等式を解く本解と同じ答えだ。$96$ では届かず $97$ で足りる、という境目が数値で見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 誤差は $1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。ところが肝心の標本比率 $\hat{p}$ がまだ分からない。

そこで「どんな $\hat{p}$ でも成り立つ」ように、いちばん誤差が大きくなる場合で押さえる。$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p}=\frac{1}{2}$ で最大の $\frac{1}{4}$。この最悪値で評価する。「未知の $\hat{p}$ を最悪評価で押さえる」。これが必要標本数の発想の核だ。

① 誤差の最大を考える。 誤差 $=1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p}=\frac{1}{2}$ のとき最大で $\frac{1}{4}$。標本比率がどんな値でも成り立たせるには、この最大の場合で押さえる。

$$\text{誤差}\leqq 1.96\sqrt{\frac{1/4}{n}}=1.96\cdot \frac{1}{2\sqrt{n}}=\frac{0.98}{\sqrt{n}}$$

② 不等式を解く。 これが $0.05$ 以下。

$$\frac{0.98}{\sqrt{n}}\leqq 0.05\Rightarrow \sqrt{n}\geqq \frac{0.98}{0.05}=19.6$$

③ $n$ について解く。 $2$ 乗する。

$$n\geqq 19.6^2=384.16$$

④ 最小の自然数を選ぶ。

$$n=385$$

まとめ:母比率の必要標本数は「$\hat{p}(1-\hat{p})$ の最大 $\frac{1}{4}$ で最悪評価」すればよい。標本比率が事前に分からないので、いちばん誤差が大きくなる $\hat{p}=0.5$ で見積もる。$384.16$ を超える最小の整数 $385$。

発展。 この見積もりは、母集団が標本よりずっと大きい(あるいは元に戻しながら抽出する)ことを暗に仮定している。

母集団の大きさ $N$ が標本 $n$ とくらべてそれほど大きくないときは、$\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ という補正係数を掛けると誤差はさらに小さくなる。この係数は $N$ が大きいほど $1$ に近づく。

たとえば $N=1000$、$n=385$ なら係数は約 $0.78$。そのぶん実際の誤差は見積もりより小さく、必要な標本も少なくてすむ。全国規模の調査で母集団がとても大きいときは、この補正はほとんど影響しない。だから「$1$ 億人の国でも $1000$ 人前後」で足りる、という話につながる。

別解

別解:$\hat{p}(1-\hat{p})$ の最大を平方完成で導く(得意な人向けの視点)。 「最大が $\frac{1}{4}$」を暗記せず、$2$ 次関数として自分で確かめられる。

$\hat{p}$ を変数とみると $\hat{p}(1-\hat{p})=\hat{p}-{\hat{p}}^2$。平方完成すると

$$\hat{p}-{\hat{p}}^2=-{\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}.$$

$-{\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0$ だから、この式は $\hat{p}=\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。どんな $\hat{p}$ でも $\hat{p}(1-\hat{p})\le \frac{1}{4}$ だと分かる。あとは最悪値 $\frac{1}{4}$ を使い、$1.96\sqrt{\frac{1/4}{n}}=\frac{0.98}{\sqrt{n}}\le 0.05$ を解いて $\sqrt{n}\ge 19.6$、$n\ge 384.16$、$n=385$。

最大を天下り式に使う本解と同じ答え。放物線の頂点として最悪値をとらえると、なぜ $\hat{p}=\frac{1}{2}$ が最悪なのかまで腑に落ちる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 検定では、示したい主張の反対を仮説として立てる。ここでは帰無仮説「硬貨は公正 $p=\frac{1}{2}$」だ。

この仮説が正しいと仮定すると、表の回数 $X$ は $N(200,10^2)$ とみなせる。観測値 $230$ を標準化して、平均からどれだけ離れているかを $Z$ で測る。両側で $|Z|>1.96$ なら「珍しすぎる」として仮説を棄却する。

① 帰無仮説を立てる。 「硬貨は公正」すなわち表の確率 $p=\frac{1}{2}$。

② 仮説のもとで分布を出す。 $X\sim B\left(400,\frac{1}{2}\right)$ を正規近似。

$$np=200,\sigma =\sqrt{400\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}=10$$

③ 観測値を標準化する。 表 $230$ 回。

$$Z=\frac{230-200}{10}=3.0$$

④ 棄却域と比べる。 両側 $5\%$ の棄却域は $|Z|>1.96$。$Z=3.0>1.96$ なので、棄却域に入る。

結論。 帰無仮説「公正」は棄却される。この硬貨は表と裏が同じ確率で出るとはいえない。

まとめ:仮説検定は「まず『差はない』(公正)と仮定 → その仮定でどのくらい珍しい結果か $Z$ で測る → 珍しすぎ($|Z|>1.96$)なら仮定を捨てる」。$Z=3.0$ は $1.96$ を大きく超え、偶然とは考えにくい。

発展。 有意水準 $5\%$ とは、じつは「正しい仮説を誤って棄却してしまう確率」を $5\%$ まで許す、という約束だ。

公正な硬貨でも、$400$ 回投げれば偶然 $|Z|>1.96$ となることが約 $5\%$ 起きる。そのときは公正なのに「公正でない」と誤って結論してしまう。これを第一種の誤りという。

水準を $1\%$ に厳しくすればこの誤りは減る。だが今度は、本当に偏った硬貨を「公正」と見逃す第二種の誤りが増える。$2$ 種類の誤りは、片方を抑えると片方が膨らむ関係にある。

だから「棄却されなかった」は「公正だと証明された」ではなく、あくまで「公正を否定するほどの証拠はなかった」という控えめな結論にとどまる。

別解

別解:回数のものさしで棄却域を作る(苦手な人向けの直接ルート)。 標準化せず、表の回数 $X$ のまま「ありうる範囲」を先に決めてしまう。

仮説が正しいなら平均 $200$、標準偏差 $10$。偶然の範囲(中央 $95\%$)は平均から標準偏差 $1.96$ 個ぶんの内側だ。

$$200-1.96\times 10\le X\le 200+1.96\times 10,\text{つまり}180.4\le X\le \mathrm{219.6.}$$

観測値は $230$ 回。この受容域 $180.4$〜$219.6$ の外側にはみ出している。だから仮説は棄却される。$Z$ に直す本解と同じ結論だ。回数のものさしのままだと、$230$ が「ありうる範囲」からどれだけ外れたかが直に見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 問われているのは「不良率が高くなったか」だけ。片方向の変化だけを見るので片側検定になる。

帰無仮説は「不良率は変わらず $p=0.2$」。これが正しいと仮定する。観測値を標準化し、右側の棄却域 $Z>1.64$ に入るかを調べる。

一方向の主張は片側検定。境界が両側の $1.96$ と変わる点が主題だ。

① 帰無仮説を立てる。 「不良率は変わらず $p=0.2$」。対立仮説は「$p>0.2$(高くなった)」なので右片側検定。

② 仮説のもとで分布を出す。 $X\sim B(100,0.2)$ を正規近似。

$$np=20,\sigma =\sqrt{100\times 0.2\times 0.8}=\sqrt{16}=4$$

③ 観測値を標準化する。 不良 $30$ 個。

$$Z=\frac{30-20}{4}=2.5$$

④ 棄却域と比べる。 片側 $5\%$ の棄却域は $Z>1.64$。$Z=2.5>1.64$ なので棄却域に入る。

結論。 帰無仮説は棄却される。不良率は $20\%$ より高くなったといえる。

まとめ:「高くなったか」だけを問うので片側検定(右側だけ)。棄却域の境界は両側の $1.96$ より内側の $1.64$。同じ有意水準でも、片側のほうが棄却されやすい(境界が甘い)。問題文が『高い/低い』の一方向なら片側、と判断する。

発展。 片側検定は調べたい方向をあらかじめ絞るぶん、その向きの変化に敏感になる(境界が $1.64$ と甘い)。かわりに反対向きの変化はまったく検出できない。

だからどちらを使うかはデータを見る前に問いの立て方で決めておく必要がある。結果を見てから「片側にすれば棄却できる」と後出しで選ぶのは、有意水準をこっそり甘くする反則になる。

今回は「高くなったか」という一方向の問いなので片側で正しい。もし「$20\%$ と変わったか」を両方向で問うなら、境界は $1.96$ になり、判定がより慎重になる。問いの向きが棄却域の形をそのまま決めている。

別解

別解:珍しさを確率そのもので測る(得意な人向けの視点)。 「$Z$ が境界を超えるか」ではなく、「仮説が正しいとき、これほど不良が多くなるのは偶然どれくらい珍しいか」を確率で直接見る。

仮説のもとで不良数は平均 $20$、標準偏差 $4$。観測値 $30$ の標準化は $Z=\frac{30-20}{4}=2.5$。片側なので、右すその面積を読む。

$$P(X\geqq 30)=P(Z\geqq 2.5)=0.5-0.4938=\mathrm{0.0062.}$$

この確率 $0.62\%$ は有意水準 $5\%$ よりずっと小さい。「偶然では起こりにくい」ので仮説を棄却する。境界 $1.64$ と $Z$ を比べる本解と、棄却するという結論は同じ。境界と比べるかわりに「珍しさ $0.62\%$」という数字で見ると、どれほど例外的かが直感でつかめる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$130$ 点以上は何 %か」は、割合を問う問題だ。

正規分布では、割合はすそ野の面積(確率)にあたる。そこで $X=130$ を標準化し、右のすそ野の確率 $P(Z\geqq z)$ を求める。最後にそれを百分率へ直す。標準化して面積を読み % にする、という実用的な使い方だ。

① 標準化する。 $N(100,20^2)$、$\mu =100$、$\sigma =20$。

$$Z=\frac{130-100}{20}=1.5$$

② 右すその確率を求める。

$$P(X\geqq 130)=P(Z\geqq 1.5)=0.5-0.4332=0.0668$$

③ 百分率にする。

$$0.0668=6.68\%$$

まとめ:「◯点以上は何 $\%$」は、標準化して右すその面積を出し、$100$ 倍する。$130$ 点は平均より標準偏差 $1.5$ 個ぶん上で、上位約 $6.7\%$ にあたる、と読める。

発展。 正規分布には、覚えておくと見当がつく目安がある。平均から標準偏差 $\pm 1$ 個ぶんの中に約 $68\%$、$\pm 2$ 個ぶんに約 $95\%$、$\pm 3$ 個ぶんに約 $99.7\%$ が入る。

これを使うと、いちいち表を引かなくても大きさが読める。$130$ 点は平均より標準偏差 $1.5$ 個ぶん上。$+1$ 個ぶんより外(上位約 $16\%$)と、$+2$ 個ぶんより外(上位約 $2.3\%$)の中間にあたる。

実際の $6.68\%$ はこの $16\%$ と $2.3\%$ のちょうど間におさまっている。答えの桁を取り違えていないかの見当づけに使える。

別解

別解:偏差値に読みかえる(苦手な人向けの身近な視点)。 標準化した値 $Z$ は試験で見慣れた偏差値と同じものだ。偏差値は $50+10Z$ で定義される。

$130$ 点は $Z=\frac{130-100}{20}=1.5$ だから、偏差値は $50+10\times 1.5=65$。偏差値 $65$ とは平均より標準偏差 $1.5$ 個ぶん上の位置。その上側の割合は、標準化して右すそを読むのと同じ計算で

$$0.5-0.4332=0.0668,\text{すなわち}6.68\%.$$

$Z$ のまま解く本解と同じ $6.68\%$。「偏差値 $65$ は上位約 $6.7\%$」という、模試でおなじみの数字と一致する。標準化が偏差値そのものだと分かると、正規分布がぐっと身近になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 独立な変数の分散は、係数を $2$ 乗してから足す。

だから $V(2X-3Y)=2^{2}V(X)+3^{2}V(Y)$ となる。引き算の $-3$ も $2$ 乗されて $+9$。符号は消え、結果は足し算になる。「分散では符号が消え、係数は必ず $2$ 乗で入る」。引き算を含む形で総仕上げする。

係数は $a=2$、$b=-3$。分散では係数が $2$ 乗になる。

$$V(2X-3Y)=2^{2}V(X)+(-3{)}^{2}V(Y)=4\times 4+9\times 9=16+81=97$$

まとめ:引き算 $2X-3Y$ でも、分散は足し算になる($(-3{)}^2=+9$ で符号が消えるから)。独立な変数の分散は「係数の $2$ 乗をかけて足す」。$-3Y$ の $-$ に惑わされて引いてしまわないこと。

発展。 分散が「係数の $2$ 乗で足す」なら、標準偏差はどう合わさるのか。

$V(2X-3Y)=97$ だから標準偏差は $\sqrt{97}\approx 9.85$。これは $2X$ の標準偏差 $2\times 2=4$ と $3Y$ の標準偏差 $3\times 3=9$ を、直角三角形の斜辺のように合成した値だ($\sqrt{4^2+9^2}=\sqrt{97}$)。標準偏差はそのまま足すのではない。単純に足せば $4+9=13$ だが、実際は $\sqrt{97}\approx 9.85$ で、それより小さい。独立な散らばりは直交して重なるからだ。

この「$2$ 乗して足し、最後に平方根」という合成は、測定の誤差を見積もる誤差伝播でもそのまま使われる考え方だ。

別解

別解:具体的な $X,Y$ を作って定義から確かめる(苦手な人向けの実験ルート)。 「引き算なのに足すの?」が不安なら、条件に合う変数を実際に作って計算してみる。

$X$ は $0,4$ を等確率でとるとする。平均 $2$、分散は $\frac{(0-2{)}^2+(4-2{)}^2}{2}=4$ で条件どおり。$Y$ は $0,6$ を等確率でとると平均 $3$、分散 $9$。

独立なので $4$ 通りの組が等確率 $\frac{1}{4}$。$W=2X-3Y$ の値は $0,-18,8,-10$ で、平均は $\frac{0-18+8-10}{4}=-5$。

$$V(W)=\frac{0^2+(-18{)}^2+8^2+(-10{)}^2}{4}-(-5{)}^2=\frac{488}{4}-25=122-25=97.$$

公式で出す本解と同じ $97$ になる。実際に作ってみると、$-3Y$ の引き算がむしろ値のふり幅を広げ、散らばりが増える様子が見てとれる。