2次方程式・2次不等式 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 2次方程式の方針は2段構えだ。まず因数分解を試す。できなければ解の公式に切り替える。

(2)のように $x$ の係数が偶数なら、$b=2b^{\prime }$ 用の軽い公式に乗り換えると計算量が半分になる。どの道具で行くかを最初に決めてから手を動かす。試行錯誤は因数分解の10秒だけでいい。

(1) $3x^2+5x-2$ をたすき掛けで因数分解する。展開して確かめると

$$(3x-1)(x+2)=3x^2+6x-x-2=3x^2+5x-2$$

合っている。だから

$$(3x-1)(x+2)=0$$

$3x-1=0$ か $x+2=0$ から

$$x=\frac{1}{3},-2$$

(2) $2x^2-6x+3=0$ は因数分解できないので解の公式。$b=-6$ が偶数なので、$b=2b^{\prime }$($b^{\prime }=-3$)として使える簡単な公式

$$x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$$

を使う。$a=2,b^{\prime }=-3,c=3$ を代入して

$$x=\frac{3\pm \sqrt{(-3{)}^2-2\cdot 3}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{9-6}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$$

まとめ:$b$ が偶数のときは $b^{\prime }=\frac{b}{2}$ を使う公式が便利。ふつうの公式より、$4ac$ でなく $ac$ で済んで計算が軽い。

発展。 解の公式の  ​ の中身 $b^2-4ac$ には、判別式という名前が付いている。この値の符号だけで「解が2個か、1個か、なしか」が分かる。次の問題で主に使う。

因数分解・平方完成・解の公式は別々の3つの技ではなく、同じ方程式を解く3つの方法である。どれからでも同じ答えに着くことを、一度は自分の手で確かめておきたい。

別解

(2)は解の公式を忘れても平方完成で解ける。むしろ、これが公式の中身そのものだ。$2x^2-6x+3=0$ の両辺を $2$ で割って $x^2-3x+\frac{3}{2}=0$。

$x^2-3x$ の部分を平方完成すると ${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。2乗が $\frac{3}{4}$ だから $x-\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。よって $x=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$。解の公式はこの平方完成を一般の $a{x}^2+bx+c=0$ で一度だけやった結果を暗記しているにすぎない。公式がど忘れしても、この道順さえ覚えていれば現場で復元できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 解の個数の条件は、判別式の条件に書き直す。「異なる2つの実数解」は $D>0$、「重解」は $D=0$ だ。

そう決めたら、あとは $D$ を $m$ の式で書く作業になる。ここで覚悟しておくことが1つ。$D$ 自身が $m$ の2次式になるので、「判別式の不等式が、また2次不等式になる」という入れ子構造が現れる。あらかじめ知っていれば、途中で迷子にならない。

判別式を計算・整理する。$a=1,b=m-1,c=m+2$ なので

$$\begin{array}{rl}D& =(m-1{)}^2-4(m+2)\\ & =m^2-2m+1-4m-8\\ & =m^2-6m-7\\ & =(m+1)(m-7)\end{array}$$

(1) 異なる2つの実数解 → $D>0$

$$(m+1)(m-7)>0$$

$>0$ は外側なので

$$m<-1,7<m$$

(2) 重解 → $D=0$

$$(m+1)(m-7)=0$$

から $m=-1$ または $m=7$。(それぞれ重解の値も $x=-\frac{b}{2}$ から求まる。)

まとめ:判別式 $D$ を $m$ の式にすると、それ自体が $m$ の2次式。因数分解して2次不等式・2次方程式として解く、という2段構えになる。

発展。 判別式の符号は放物線と $x$ 軸の位置関係(2点で交わる・接する・離れる)の代数版だ。次の問題で、この図形との対応を正面から使う。

「条件を課したら、判別式自身が新しい2次不等式になる」という入れ子は、文字定数入りの問題の典型的な構造である。外側の問題と内側の問題を混同しないよう、いま何の変数について解いているかを常に意識したい。

別解

(2)の重解の値は解の公式に戻らなくても出せる。重解は「軸の位置」そのものだからだ。$D=0$ のとき、解の公式の $\pm \sqrt{D}$ の部分が消える。残るのは $x=-\frac{b}{2a}$、つまり放物線の軸だ。

$m=-1$ のとき: $x=-\frac{m-1}{2}=-\frac{-2}{2}=1$。$m=7$ のとき: $x=-\frac{6}{2}=-3$。「接する=頂点が $x$ 軸に乗る=重解は軸の位置」。グラフの絵と結びつけておくと、重解の値は代入し直すより速く、確実に出せる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$x$ 軸と接する」という図形の言葉を、「重解をもつ($D=0$)」という方程式の言葉に言い換える。これが第一歩だ。

接点の $x$ 座標は重解そのもの。$D=0$ のとき解の公式の $\pm \sqrt{}$ が消えて、軸の位置だけが残る。「接する・重解・$D=0$・頂点が軸上」は全部同じことの言い換えだと結びつけておく。

(1)

$y=-x^2+4x+5$ で $y=0$ とおく。$x^2$ の係数を正にするため $-1$ をかけて

$$x^2-4x-5=0$$

因数分解して

$$(x+1)(x-5)=0$$

$x=-1,5$。共有点の座標は

$$(-1,0),(5,0)$$

(2)

『$x$ 軸と接する』は共有点1個、つまり重解、つまり $D=0$。$y=x^2-6x+k$ で $b=-6$ は偶数なので $\frac{D}{4}$ で計算する。

$$\frac{D}{4}=(-3{)}^2-k=9-k$$

接する条件 $\frac{D}{4}=0$ から

$$9-k=0k=9$$

このとき接点(重解)は $x=-\frac{b}{2}=3$ で、$y=0$ だから

$$(3,0)$$

まとめ:『接する』= 重解 = $D=0$、と言い換えれば解ける。接点の $x$ 座標は重解 $x=-\frac{b}{2}$ で求まる。

発展。 「接する」という概念は、ここが出発点だ。数学IIでは円と直線が接する条件(距離=半径、または $D=0$)、さらに微分では曲線の接線として、形を変えながら何度も登場する。

どの場面でも考え方は同じで、「共有点が1つに退化する瞬間」を式でとらえている。判別式ルートと頂点ルートの2本を持っておくと、場面ごとに速いほうを選べる。

別解

(2)は平方完成でも解ける。 $y=x^2-6x+k=(x-3{)}^2+k-9$ と変形すると、頂点は $(3,k-9)$ である。下に凸の放物線が $x$ 軸と接するのは頂点がちょうど $x$ 軸に乗るときなので、$k-9=0$ より $k=9$ で、接点は頂点そのもの、すなわち $(3,0)$ である。「接する=頂点が軸上」という図形的な見方も、判別式と並ぶ有力な道具になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 2次不等式はグラフで読む。まず $=0$ の交点を求め、放物線の絵で「$<0$ は内側、$>0$ は外側」と読む。

(2)のように $x^2$ の係数が負なら、先に $-1$ を掛けて下に凸にそろえる。向きが逆になることだけ注意。(3)は因数分解できないが、あわてない。交点は解の公式で出せばよい。考える型はいつも1つ、「交点を出してグラフの高さを読む」だ。

(1)

$x^2-2x-15>0$。因数分解すると

$$(x+3)(x-5)>0$$

$>0$ は外側なので

$$x<-3,5<x$$

(2)

$-2x^2+5x+3\ge 0$ は $x^2$ の係数が負。両辺に $-1$ をかけて(向きが逆になる)

$$2x^2-5x-3\le 0$$

たすき掛けで因数分解する。

$$(2x+1)(x-3)\le 0$$

$\le 0$ は内側なので

$$-\frac{1}{2}\le x\le 3$$

(3)

$x^2-6x+7<0$。因数分解できないので、$=0$ を解の公式($b=-6$ 偶数)で解く。

$$x=3\pm \sqrt{(-3{)}^2-7}=3\pm \sqrt{2}$$

交点は $x=3\pm \sqrt{2}$。$<0$ は内側なので

$$3-\sqrt{2}<x<3+\sqrt{2}$$

まとめ:2次不等式は『交点を求めて、内側($<0$)か外側($>0$)かを読む』。$x^2$ の係数が負なら $-1$、因数分解できないなら解の公式、と場面で使い分ける。

発展。 「交点を出して高さを読む」という見方は、2次に限らない。数学IIの3次以上の不等式では別解の「因数の符号」を表に整理する方法(符号表)を主に使う。

不等式を「方程式+グラフ」に分解して考える習慣は、この先の指数・対数・三角の不等式でもそのまま通用する、一生モノの型だ。

別解

グラフを描かずに、「積の符号」の論理で解く方法もある。(1) $(x+3)(x-5)>0$ は「2つの因数の積が正」ということ。積が正になるのは、両方正か、両方負のときだ。

• 両方正: $x>-3$ かつ $x>5$、つまり $x>5$。
• 両方負: $x<-3$ かつ $x<5$、つまり $x<-3$。

合わせて $x<-3$ または $x>5$。グラフの「外側」と同じ答えになる。

$<0$ なら「片方が正で片方が負」を考えればよい。数の符号ルール(正×正、負×負は正)だけで解けるので、グラフのイメージがまだ不安な人の検算ルートとして使える。ただし因数が増えると場合分けが膨らむので、最終的にはグラフ読みに慣れるのが得だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) この4問は、放物線が $x$ 軸と「接する」か「離れている」型だ。最初に型を見極める。

因数分解して2乗の形が出たら、「2乗は $0$ 以上」という事実だけで解が読める。

因数分解できないものは判別式で「そもそも $x$ 軸と交わらない」と確認する。グラフが常に軸の上(または下)にある絵を思い浮かべれば、答えは「すべての実数」か「解なし」か「1点だけ」のどれかになる。

(1)

$x^2-6x+9=(x-3{)}^2$。

$$(x-3{)}^2>0$$

0になるのは $x=3$ だけなので、$>0$ は $x=3$ 以外のすべての実数。

(2) $4x^2+12x+9=(2x+3{)}^2$。

$$(2x+3{)}^2\le 0$$

$\le 0$ になるのは $=0$ のときだけ。

$$x=-\frac{3}{2}$$

(3)

$x^2-3x+4<0$。判別式を見る。

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0$$

$D<0$ で下に凸なので、この2次式は必ず正。$<0$(負)になることはないので解なし。

(4) $2x^2+x+1>0$。判別式を見る。

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0$$

$D<0$ で下に凸なので、必ず正。$>0$ はいつも成り立つのですべての実数。

まとめ:$D\le 0$ の型は $(x-p{)}^2$ の形や判別式で『必ず正か、0になるのはどこか』を見る。答えが『◯以外のすべて』『すべての実数』『解なし』になるのが特徴。

発展。 この問題の4つの場合(1点を除く全実数・1点だけ・解なし・全実数)は、2次不等式の「例外パターン」の全カタログだ。ふつうの2交点型と合わせて、これで全種類を見たことになる。

「常に正」を示す2つの道(判別式 $D<0$ と、最小値が正)は、このあと絶対不等式の問題で正面から問われる。両方の道を持っておくと強い。

別解

(3)(4)は判別式の代わりに平方完成で「最小値」を直接見せる方法もある。(3) $x^2-3x+4={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}$。2乗の部分は $0$ 以上だから、式全体はいつでも $\frac{7}{4}$ 以上。つまり常に正で、$<0$ になる瞬間はない。解なし。

(4) $2x^2+x+1=2{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{8}$。いつでも $\frac{7}{8}$ 以上で常に正。$>0$ はすべての実数で成立する。

判別式からは「交点があるか」が分かり、平方完成からは「グラフがどの高さにあるか」まで分かる。どちらでも結論は同じで、答案ではどちらを使ってもよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前半は定型作業だ。2つの不等式を別々に解いて、共通部分をとる。

後半の「整数を数える」段階では、注意すべき点が変わる。端の値を含むか含まないかが、そのまま答えの個数を左右する。数直線を描いて、端に「含む●・含まない○」の印を打ってから数える。この一手間がいちばん安い保険になる。

それぞれ解く。

1つ目 $x^2-x-6<0$ を因数分解すると

$$(x+2)(x-3)<0$$

$<0$ は内側なので $-2<x<3$。

2つ目 $x^2-4x+3\ge 0$ を因数分解すると

$$(x-1)(x-3)\ge 0$$

$\ge 0$ は外側なので $x\le 1$ または $x\ge 3$。

共通部分 $-2<x<3$ と『$x\le 1$ または $x\ge 3$』の両方を満たすのは

$$-2<x\le 1$$

この範囲の整数は、$-2$ は含まない(<)、$1$ は含む(≦)ので

$$x=-1,0,1$$

まとめ:の3個。連立2次不等式は『別々に解いて共通部分』、整数は端の含む・含まないに注意して数える。

発展。 この型の発展形が「整数解がちょうど $n$ 個になるように定数の範囲を決めよ」という逆問題だ。そこでは、端を含むか含まないかで答えが変わる。

この問題の「別々に解く → 共通部分 → 端の検分」という3段は、その応用でも基本の流れとして変わらない。

別解

2つの不等式を「区間の表」で同時に処理する方法もある。出てくる交点をぜんぶ並べると $-2,1,3$。数直線がこの3点で4つの区間に切れる。各区間で、$(x+2)(x-3)<0$ と $(x-1)(x-3)\ge 0$ の成否を○×で書き込む。

• $x<-2$: 1つ目×(積が正)
• $-2<x<1$: 1つ目○、2つ目○ → 両方成立
• $1<x<3$: 1つ目○、2つ目×(積が負)
• $x>3$: 1つ目×

境目は個別に確認する。$x=1$ は2つ目が $=0$ で成立($\ge$ だから)、1つ目も成立。$x=-2$ と $x=3$ は1つ目が不成立。

よって $-2<x\le 1$。区間表は、不等式が3本以上に増えても同じ書式で押せるのが強みだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 文章題の流れは「横を $x$ で表す → 面積の不等式を立てる」の2段だ。

周の長さが $40$ m と固定されているから、縦を $x$ とすれば横は $20-x$ と自動的に決まる。変数は1つで済む。不等式 $x(20-x)\ge 96$ ができたら、あとは2次不等式の作業。最後に、長方形が成立する範囲($x$ も横も正)と交わらせるのを忘れない。

① 周の長さから、横の長さを $x$ で表す。 縦2辺で $2x$ 使うので、横2辺の合計は $40-2x$、横1辺は

$$(40-2x)÷2=20-x(\mathrm{m})$$

② 面積の条件を不等式にする。 面積が96以上の条件は

$$x(20-x)\ge 96$$

展開・整理する。

$$-x^2+20x-96\ge 0$$

③ 2次不等式にして解く。 両辺に $-1$ をかけて(向きが逆になる)

$$x^2-20x+96\le 0$$

因数分解して

$$(x-8)(x-12)\le 0$$

$\le 0$ は内側なので

$$8\le x\le 12$$

(縦 $x$ も横 $20-x$ もこの範囲で正。)

まとめ:周から横の長さ $20-x$ を出し、面積の条件を2次不等式にするのが流れだ。

発展。 別解の「和が一定なら半々が最大」は、数学IIで相加平均・相乗平均の関係として定理になる。面積・利益・材料の配分など、「分け方で積を最大にする」問題すべてに共通する考え方だ。

「$96$ 以上になる範囲」は、最大値 $100$ の山を高さ $96$ で水平に切った断面でもある。不等式と最大最小が同じグラフの別の読み方だ、という見方を持っておくと応用が利く。

別解

「正方形からのずれ」で読むと、計算がほとんど要らなくなる。縦と横の和は $20$ で固定。ちょうど半分ずつの $10\times 10$(正方形)のとき、面積は最大の $100$ になる。縦を $10+d$ とずらすと横は $10-d$ で、面積は $(10+d)(10-d)=100-d^2$。ずれの2乗の分だけ、必ず面積が減る。

面積が $96$ 以上という条件は $100-d^2\ge 96$、つまり $d^2\le 4$、$-2\le d\le 2$。縦に戻せば $8\le x\le 12$。「和が一定なら、半々が最大。ずれの2乗だけ損をする」という1つの見方で、最大値の問題も範囲の問題も同じように読める。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 放物線と直線の共有点は、連立して $y$ を消した2次方程式がすべてを握っている。

(1)は、その方程式を解けば座標が出る。(2)(3)は個数の話だから、判別式を使う。「同じ方程式を、解くためにも、個数を数えるためにも使い回す」。この関係を最初につかめば、3つの小問を同じ流れで解ける。

放物線 $y=x^2-2x+3$ と直線 $y=2x+k$ を連立する。

$$x^2-2x+3=2x+k$$

整理して

$$x^2-4x+3-k=0\cdots (\ast )$$

この(★)の解が共有点の $x$ 座標。判別式($b=-4$ 偶数)は

$$\frac{D}{4}=(-2{)}^2-(3-k)=4-3+k=k+1$$

(1) $k=0$ のとき: (★)は

$$x^2-4x+3=0$$

$$(x-1)(x-3)=0x=1,3$$

$y=2x$ に代入して、座標は

$$(1,2),(3,6)$$

(2) 接する($D=0$): $\frac{D}{4}=k+1=0$ から

$$k+1=0k=-1$$

このとき(★)の重解 $x=2$、$y=2\times 2+k=4-1=3$ で接点

$$(2,3)$$

(3) 共有点なし($D<0$): $\frac{D}{4}=k+1<0$ から

$$k+1<0k<-1$$

まとめ:放物線と直線は、連立した2次方程式(★)で扱う。個数の境目は判別式 $D$ を $k$ で表して調べる、が基本だ。

発展。 別解の「差の関数」は2つのグラフの上下関係を1つの関数の符号に圧縮する見方だ。数学IIで「すべての $x$ でグラフAがグラフBより上」といった条件を扱うとき、この圧縮が標準の第一手になる。

「接する=差の関数が重解を持つ=差の最小値が $0$」という3つの言い換えは、微分で接線を学ぶときにもう一度出会うことになる。

別解

「差の関数」の目で見ると、$k$ の役割がはっきりする。放物線と直線の差を $h(x)=(x^2-2x+3)-(2x+k)=x^2-4x+3-k$ とおく。共有点は $h(x)=0$ の解だ。$h$ を平方完成すると $h(x)=(x-2{)}^2-1-k$。最小値は $x=2$ での $-1-k$。

• 最小値が $0$ より下($k>-1$)なら、$h=0$ は2解。2点で交わる。
• 最小値がちょうど $0$($k=-1$)なら重解。接する。接点の $x$ 座標は最小の場所 $x=2$、$y$ は直線に代入して $2\cdot 2-1=3$。
• 最小値が $0$ より上($k<-1$)なら解なし。共有点なし。

直線を上下に動かす $k$ は差の関数の高さを上下させているだけ。「差の最小値と $0$ の比較」という1つの見方で、(2)(3)が同時に見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「すべての実数で $>0$」を、グラフの言葉で言い換える。「放物線が $x$ 軸から浮いている」だ。

浮いている条件は、交点がないこと。つまり $D<0$。$x$ の係数に文字 $k$ が入っていても、手順は変わらない。$D$ を $k$ で表して、その2次不等式を丁寧に解くだけだ。$x^2$ の係数が正(下に凸)であることの確認も、答案では一言添える。

『すべての実数 $x$ で $>0$』は、下に凸の放物線が $x$ 軸と交わらないこと。$x^2$ の係数は1で正(下に凸)。共有点なしの条件は

$$D<0$$

判別式($b=-2(k-1)$ が偶数なので $\frac{D}{4}$)を計算する。

$$\begin{array}{rl}\frac{D}{4}& =\{-(k-1){\}}^2-(k+5)\\ & =k^2-2k+1-k-5\\ & =k^2-3k-4\\ & =(k+1)(k-4)\end{array}$$

$\frac{D}{4}<0$ より

$$(k+1)(k-4)<0$$

$<0$ は内側なので

$$-1<k<4$$

まとめ:『すべての実数で $>0$』= 下に凸で $D<0$。判別式を $k$ で表して不等式を解く。

発展。 「常に正」を示す2つの道(判別式 $D<0$、最小値が正)は、どちらも今後の主力だ。数IIの証明問題では最小値ルートが、条件処理では判別式ルートが活躍することが多い。

発展形は、$x^2$ の係数にも文字が付くタイプだ。係数が $0$ なら1次式、負なら上に凸となり、「2次で下に凸」の場合分けが最初に必要になる。今回の「係数が正の確認」は、その準備である。

別解

別の見方として、$f(x)$ の最小値(頂点の $y$ 座標)が正、と考えてもよい。頂点の $y$ 座標は $-(k-1{)}^2+k+5$。これが正なら、下に凸の放物線全体が正になる。

$$-(k-1{)}^2+k+5=-k^2+3k+4$$

これが $>0$ なら

$$-k^2+3k+4>0$$

両辺 $-1$ 倍して $k^2-3k-4<0$、$(k+1)(k-4)<0$、$-1<k<4$。判別式でも最小値でも、同じ答えになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 因数分解すると $(x-3)(x-a)<0$。交点は $3$ と $a$ で、解は内側、までは決まる。

決まらないのは「どちらが左か」だ。$a$ は文字だから、$3$ との大小が分からない。文字入りの交点を見たら、「大小で場合分け。等しいときは退化」という3分岐を最初に設計する。$a<3$、$a=3$、$a>3$ の3枚の絵を描いてから書き始める。

因数分解する。

$$(x-3)(x-a)<0$$

交点は $x=3$ と $x=a$。$<0$(内側)が答えだが、$3$ と $a$ のどちらが小さいかで書き方が変わるので場合分けする。

① $a<3$:

$a$ のほうが小さいので、内側は

$$a<x<3$$

② $a=3$: 2つの交点が重なり $(x-3{)}^2<0$。2乗が負になることはないので解なし。

③ $a>3$:

$3$ のほうが小さいので、内側は

$$3<x<a$$

まとめ:文字係数の2次不等式は、交点(ここでは $3$ と $a$)の大小がわからないので場合分けが必要。$a=3$(重なる)を境に、内側の書き方が入れかわる。

発展。 「大小で場合分け、等しいとき退化」の3分岐は、文字入りの因数分解型すべてに通用する普遍の型だ。等号のときに解が消える(退化する)ところまで含めて1セットで覚えたい。

数IIに進むと、$x^2$ の係数にも文字が付く型(正・$0$・負で放物線の向き自体が変わる)へ拡張される。分岐を先に設計しておく習慣が、そこで役に立つ。

別解

文字の場合分けが不安なときは、具体的な $a$ で「答えの形」を先に見てしまうとよい。$a=0$ を入れてみる。$(x-3)x<0$ の解は $0<x<3$。つまり「$a$ と $3$ の間」だ。$a=5$ なら $(x-3)(x-5)<0$ で $3<x<5$。やはり「$3$ と $a$ の間」だが、今度は $3$ が左になる。

$a=3$ ちょうどでは $(x-3{)}^2<0$。2乗が負になることはないから、解なし。

3つの実験で、答えの3つの形(内側の書き方2通り+解なし)が出そろった。あとは境目を $a=3$ にして一般の言葉で書き直すだけだ。文字を見たら具体値で形をつかむ。この実験の習慣は、場合分けの問題全般で方針を決める手がかりになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「異なる2つの正の解」を、グラフの絵で表す。下に凸の放物線が $x$ 軸の正の部分で2回交わる絵だ。

絵を式の条件に分解すると3つになる。①そもそも2回交わる($D>0$)。②山場が右半分にある(軸 $>0$)。③左端の高さが正($f(0)>0$)。

3条件は絵の各パーツに対応している。図とセットで覚えれば、丸暗記にならない。

$f(x)=x^2-2mx+m+2$ のグラフ(下に凸の放物線)が、$x$ 軸の正の部分で異なる2点で交わればよい。それには3つが同時に要る。

① 異なる2解 → $D>0$: グラフが $x$ 軸と2点で交わる、ということ。$b=-2m$ 偶数なので

$$\frac{D}{4}=(-m{)}^2-(m+2)=m^2-m-2=(m+1)(m-2)$$

$>0$ より $m<-1$ または $m>2$。

② 2解とも正 → 軸が正: 2つの交点の「まん中」が軸。交点が両方とも正なら、そのまん中も正。平方完成すると

$$f(x)=(x-m{)}^2-m^2+m+2$$

軸は $x=m$。これが正、つまり $m>0$。

③ $f(0)>0$: ここが一番忘れやすい。①②だけではまだ「2解がともに $0$ より右」とは言い切れない(片方が $0$ の左に食い込むこともある)。そこで $x=0$ での高さ $f(0)$ が正であることを要求する。下に凸の放物線が $x=0$ で $x$ 軸より上にあるなら、$x=0$ は2つの交点より左側にある。つまり2つの解はどちらも $0$ より右＝正になる。これで初めて「2解とも正」が保証される。

$$f(0)=m+2>0\Rightarrow m>-2$$

まとめ:3つ($m<-1$ または $m>2$)かつ($m>0$)かつ($m>-2$)の共通範囲は $m>2$。「異なる2つの正の解」は $D>0$(2点で交わる)・軸 $>0$(まん中が正)・$f(0)>0$($x=0$ が2解の左)の3つで、$x$ 軸との交わり方をグラフで思い浮かべると3条件の意味がつながる。

発展。 「2つの負の解」なら軸 $<0$ と $f(0)>0$、「異符号の解」なら次の問題のように $f(0)<0$ の1本だけ。配置のパターンごとに条件セットが変わる。丸暗記でなく、毎回絵から条件を組み立てる練習をしておくと、初見の配置にも対応できる。

別解の和と積の言葉は、数学IIの解と係数の関係で正式に手に入る。グラフの言葉との対応表を自分で作っておくと、両者が同じことを言っていると分かる。

別解

2つの解を $\alpha$、$\beta$ として、「和と積」で条件を書く方法もある(数学IIで学ぶ解と係数の関係の先取りだ)。$x^2-2mx+m+2=0$ を因数分解した形 $(x-\alpha )(x-\beta )=0$ を展開して見比べると、$\alpha +\beta =2m$、$\alpha \beta =m+2$ と読み取れる。

2つの解がともに正である条件は、「和が正、かつ積が正」と言い換えられる(和と積が両方正になるのは、両方正のときだけだ)。

• 異なる2実解: $D/4=m^2-(m+2)>0$ → $(m-2)(m+1)>0$ → $m<-1$ または $m>2$
• 和が正: $2m>0$ → $m>0$
• 積が正: $m+2>0$ → $m>-2$

3つの共通部分は $m>2$。グラフの3条件(軸・端点)と、代数の3条件(和・積)が同じ答えに着く。2つの表し方を行き来できると、検算にもなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$1$ より大きい解と小さい解を1つずつ」。いつものように $D$・軸・端点の3つを調べる前に、図を見てほしい。

下に凸の放物線が $x=1$ で $x$ 軸より下にありさえすれば、左右へ上がっていく途中で必ず1回ずつ軸を横切る。

つまり条件は $f(1)<0$ の1つだけに退化する。$D>0$ は自動で満たされる($x=1$ で負の値をとる以上、必ず2交点がある)。「またぐ型は端点だけ」という省エネに気づけるかが分かれ目だ。

$f(x)=x^2-2ax+4a-5$、下に凸。

『1より大きい解と1より小さい解を1つずつ』もつのは、放物線が $x=1$ の位置で $x$ 軸より下にあるとき。つまり条件は

$$f(1)<0$$

の1つだけ(下に凸の放物線が $x=1$ で負なら、その左右で必ず $x$ 軸を1回ずつ横切り、1を挟む2解になる)。$f(1)$ を計算する。

$$f(1)=1^2-2a\cdot 1+4a-5=2a-4$$

$f(1)<0$ より

$$2a-4<0$$

これを解いて

$$a<2$$

まとめ:『ある値 $c$ を挟む2解』は、$f(c)<0$(下に凸の場合)の1つの条件で決まる。$D>0$ や軸の条件は、$f(1)<0$ が成り立てば自動的に満たされるので不要だ。

発展。 解の配置は「両方が区間の右」「またぐ」「区間内に2解」などの型ごとに、必要な条件の本数が違う。またぐ型が1本で済むのは、$f(1)<0$ が他の条件($D>0$)を自動的に連れてくるからだ。条件の従属を見抜くと、計算が大きく減る。

「境界での関数値の符号」だけで解の存在が言える、という考え方は、数学IIIの中間値の定理で一般の関数へ拡張される。

別解

2つの解 $\alpha$、$\beta$ の言葉で書き直す方法もある。「$1$ をはさむ」は $\alpha <1<\beta$、つまり

$$(\alpha -1)(\beta -1)<0$$

と1本の不等式になる($1$ との差が異符号、ということだ)。展開すると $\alpha \beta -(\alpha +\beta )+1<0$。解と係数の対応($\alpha +\beta =2a$、$\alpha \beta =4a-5$)を入れて

$$(4a-5)-2a+1<0$$

整理して $2a-4<0$、$a<2$。実はこの左辺は $f(1)$ そのものだ($f(1)=(1-\alpha )(1-\beta )=(\alpha -1)(\beta -1)$)。本解の「$f(1)<0$」と別解の「差の積が負」は、同じ量を図形と代数の両側から見ていたことになる。