2次方程式・2次不等式 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「異なる $2$ つの正の解」は、下に凸の放物線 $f(x)=x^2-2ax+a+2$ が、$x$ 軸の正の側で $2$ 点と交わる、と読み替える。

グラフでこれを保証する条件は $3$ つ。まず $2$ 点で交わる(判別式 $>0$)。次に交点が両方とも正の側にある。

「両方正」を式にするところがつまずきやすい。軸($x=a$)が正の側にあり($a>0$)、かつ $y$ 軸との交点 $f(0)=a+2$ が正($x=0$ より右で交わる)。この $3$ 条件を連立する。

① $3$ 条件を書く。 $f(x)=x^2-2ax+a+2$。軸は $x=a$。

• 判別式:$\frac{D}{4}=a^2-(a+2)>0$、すなわち $a^2-a-2>0$、$(a-2)(a+1)>0$ → $a<-1$ または $a>2$。
• 軸:$a>0$。
• $f(0)=a+2>0$ → $a>-2$。

② 連立する。 $3$ つを同時に満たす $a$ を数直線でとる。$a>0$ と組み合わせると $a<-1$ の側は消え、$a>2$ が残る。$a>-2$ は $a>2$ に含まれる。よって

$$a>2$$

まとめ:「解の符号・位置」の問題は解を求めずにグラフの形で考える。ともに正なら「判別式・軸・$f(0)$」の $3$ 点セット。$1$ つでも落とすと範囲がずれるので、必ず $3$ つそろえて連立する。

発展。 「$2$ 次方程式の解の配置」は下に凸のグラフを $3$ つの視点で縛る: ①判別式(交わる回数)②軸の位置(左右のバランス)③境界での符号 $f(k)$(境界の左か右か)。この $3$ 点セットで、「$2$ 解がともに $k$ より大」「$k$ を $1$ つはさむ」など、あらゆる配置条件が書ける。解を求めずにグラフで縛るのが要だ。

別解

別解:解と係数の関係で「和も積も正」と読む(得意な人向けの視点)。 $2$ 解 $\alpha ,\beta$ が「異なる」「ともに正」を、解と係数の関係で書く。

異なる $2$ 実解: 判別式 $\frac{D}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)>0$、すなわち $a<-1$ または $a>2$。ともに正 $⟺$ 和も積も正: $\alpha +\beta =2a>0$($a>0$)かつ $\alpha \beta =a+2>0$($a>-2$)。$3$ つを連立: $(a<-1\text{ or }a>2)$ かつ $a>0$ かつ $a>-2$。共通部分は $a>2$。

グラフの $3$ 条件(判別式・軸・$f(0)$)で解く本解と同じ結論。「$2$ 解がともに正 $⟺$ 和 $>0$ かつ積 $>0$」は、解を求めずに符号だけ判定する便利な言い換え。軸 $>0$ は「和 $>0$」、$f(0)>0$ は「積 $>0$」にそれぞれ対応している。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$0\le x\le 2$ に少なくとも $1$ つの解」は、実は $2$ 通りの状況をまとめたもの。分けて考える。

(A) 区間の端で符号が変わる場合。$f(0)$ と $f(2)$ が異符号なら、その間に必ず解が $1$ つある($f(0)f(2)\le 0$)。(B) $2$ 解ともに区間内にある場合。判別式・軸の位置・$f(0)\ge 0$・$f(2)\ge 0$ をすべて満たす。

この $2$ つの状況の和集合が答え。「少なくとも $1$ つ」は $1$ 個の不等式では書けないので、場合を尽くすのがコツだ。

① 準備。 $f(x)=x^2-2ax+a$、軸 $x=a$。$f(0)=a$、$f(2)=4-4a+a=4-3a$。

② (A) 端点で異符号。 $f(0)f(2)\le 0$、すなわち $a(4-3a)\le 0$。これは $a\le 0$ または $a\ge \frac{4}{3}$。

③ (B) $2$ 解とも区間内。 判別式 $\frac{D}{4}=a^2-a\ge 0$($a\le 0$ または $a\ge 1$)、軸 $0\le a\le 2$、$f(0)=a\ge 0$、$f(2)=4-3a\ge 0$($a\le \frac{4}{3}$)。これらを連立すると $a=0$ または $1\le a\le \frac{4}{3}$。

④ 和集合をとる。 (A)$\cup$(B)$=\{a\le 0\text{または}a\ge \frac{4}{3}\}\cup \{a=0\text{または}1\le a\le \frac{4}{3}\}$。まとめると

$$a\le 0\text{または}a\ge 1$$

まとめ:「少なくとも $1$ つ」は「$1$ つだけ(端点異符号)」と「$2$ つとも(フル条件)」の和集合。片方だけでは $1\le a<\frac{4}{3}$ の「両方入る」ケースを取りこぼす。両者を合わせて初めて $a\ge 1$ とまとまる。

発展。 「区間に少なくとも $1$ 解」は定数分離 $a=g(x)$ にすると「水平線 $y=a$ が $g$ の値域と交わる」= $g$ の値域を求める問題に一本化できる(別解)。場合分け(端点異符号 or $2$ 解とも内)を尽くす代数的な道と、値域を見るグラフの道、どちらも同じ答え。定数分離は場合分けを回避できる有効な発想だ。

別解

別解:定数分離して「放物線と水平線の交わり」で見る(視覚で捉えるルート)。 $x^2-2ax+a=0$ から $a$ を分離する。$a$ を含む項でくくると $x^2=a(2x-1)$、$2x-1\ne 0$ で $a=\frac{x^2}{2x-1}$。

$0\le x\le 2$ で右辺 $g(x)=\frac{x^2}{2x-1}$ がとる値の範囲が、そのまま「解をもつ $a$」の範囲。水平線 $y=a$ と $y=g(x)$ が $[0,2]$ で交われば、その $a$ で解がある。$g(x)$ を調べると、$x=\frac{1}{2}$ で分母が $0$(縦漸近線)。$0\le x<\frac{1}{2}$ では $g\le 0$($x=0$ で $g=0$)、$\frac{1}{2}<x\le 2$ では $g$ は $x=1$ で最小 $1$ をとり、$x=2$ で $\frac{4}{3}$。

$[0,2]$ での値域は「$a\le 0$」または「$a\ge 1$」。場合分け(本解)の $f(0)f(2)\le 0$ などと同じ答えに、$1$ 本のグラフの値域として着く。定数分離は「少なくとも $1$ 解」型を値域の問題に変える有効な方法だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^2$ の係数が $1>0$ で下に凸。「すべての $x$ で正」は、グラフが $x$ 軸より上にある、つまり $x$ 軸と交わらないこと。

下に凸のグラフが $x$ 軸と交わらない条件は、判別式 $<0$。$\frac{D}{4}=(a-1{)}^2-(2a+1)<0$ を計算すると $a^2-4a<0$、すなわち $a(a-4)<0$。これを解いて $0<a<4$。

① 判別式を作る。 $f(x)=x^2+2(a-1)x+2a+1$。$x$ の係数が $2(a-1)$ なので

$$\frac{D}{4}=(a-1{)}^2-(2a+1)$$

② 条件を解く。 $D<0$ より

$$(a-1{)}^2-(2a+1)<0⟹a^2-2a+1-2a-1<0⟹a^2-4a<0$$

$a(a-4)<0$ より

$$0<a<4$$

まとめ:「すべての $x$ で正」は下に凸なら「$x$ 軸と交わらない」= $D<0$。等号ありの $\ge 0$ なら $D\le 0$(接してもよい)に変わる。不等号に等号が付くかどうかで判別式の等号も連動する。

発展。 「すべての $x$ で $a{x}^2+bx+c>0$」($a>0$)は判別式 $<0$。$a<0$ なら「すべての $x$ で $<0$」が判別式 $<0$。この「絶対不等式」の条件は $2$ 次形式の正定値性(行列の固有値がすべて正)の $1$ 変数版で、最適化や統計(共分散行列)で重要な概念につながる。

別解

別解:平方完成して「頂点の高さ $>0$」で読む(苦手な人向け)。 判別式を使わず、平方完成で頂点の高さを直接見る。

$$x^2+2(a-1)x+2a+1=(x+(a-1){)}^2+(2a+1)-(a-1{)}^2=(x+(a-1){)}^2-(a^2-4a).$$

下に凸だから、この関数の最小値は頂点の高さ $-(a^2-4a)$。「すべての $x$ で正」とは、この最小値が正であること。

$$-(a^2-4a)>0⟺a^2-4a<0⟺a(a-4)<0⟺0<a<4.$$

判別式 $<0$(本解)と同じ式 $a^2-4a<0$ に着く。じつは「頂点の高さ $>0$」と「判別式 $<0$」は同じことで、頂点の高さ $=-\frac{D}{4}$(下に凸のとき)。平方完成すると、なぜ判別式の符号で決まるかが目に見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3$ つの不等式は、まず個別に因数分解して解く。

$x^2-x-2>0$ は $(x-2)(x+1)>0$ で $x<-1$ または $x>2$。$x^2-4x+3\le 0$ は $(x-1)(x-3)\le 0$ で $1\le x\le 3$。$x^2<9$ は $-3<x<3$。

$3$ つの範囲を数直線に並べ、すべてが重なる部分をとる。共通部分は $2<x<3$。

① 各不等式を解く。

• $x^2-x-2>0$:$(x-2)(x+1)>0$ より $x<-1$ または $x>2$。
• $x^2-4x+3\le 0$:$(x-1)(x-3)\le 0$ より $1\le x\le 3$。
• $x^2<9$:$-3<x<3$。

② 重なりをとる。 まず後ろ $2$ 本 $1\le x\le 3$ と $-3<x<3$ の重なりは $1\le x<3$。これと $1$ 本目($x<-1$ または $x>2$)の重なりをとる。$1\le x<3$ のうち「$x<-1$」を満たす部分はなく、「$x>2$」を満たす部分は $2<x<3$。よって

$$2<x<3$$

まとめ:連立不等式は「個別に解く → 重ねる」。境目($-1,1,2,3$ と $\pm 3$)を書き出し、端点で等号が付くか($\le$ か $<$ か)を $1$ つずつ確かめる。$x=3$ は $2$ 本目では等号で入るが $3$ 本目($<3$)で外れるので、結局含まれない。

発展。 連立不等式の解は各解集合の共通部分(積集合)。数直線上の区間の交わりは端点を小さい順に並べて「最も内側」をとる操作。$3$ つ以上でも同じで、区間演算(インターバル計算)として機械的に処理できる。プログラムで領域を扱うときの基本操作でもある。

別解

別解:数直線に $3$ 本の帯を描いて重なりを塗る(視覚で確実なルート)。 $3$ つの不等式の解を、同じ数直線に色分けの帯で描く。

• $x^2-x-2>0$: $x<-1$ と $x>2$(外側の $2$ 本)。
• $x^2-4x+3\le 0$: $1\le x\le 3$(真ん中の $1$ 本)。
• $x^2<9$: $-3<x<3$(広い $1$ 本)。

$3$ 本すべてが重なる区間を探す。$x>2$(第 $1$)と $1\le x\le 3$(第 $2$)と $-3<x<3$(第 $3$)の共通部分は $2<x<3$。$x<-1$ の側は第 $2$ の $1\le x\le 3$ と重ならないので消える。

答えは $2<x<3$。個別に解いて共通部分をとる(本解)のと同じだが、数直線に帯を重ねて描くと、「$x<-1$ 側が第 $2$ の条件で消える」ことや、端点の $\le$ と $<$ の違い($x=2$ は第 $1$ の $>$ で除外、$x=3$ は第 $3$ の $<$ で除外)が目で確認できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 交点の $x$ 座標は、$y$ を消去した方程式 $x^2=2x+a$、すなわち $x^2-2x-a=0$ の解。この方程式を中心に考える。

問われているのは「異なる $2$ 交点で、$x$ 座標がともに正」。これは前の問題と同じ「$2$ 次方程式が異なる $2$ 正解」の形だ。下に凸の $f(x)=x^2-2x-a$ で $3$ 条件: 判別式 $>0$、軸 $x=1>0$(これは自動)、$f(0)=-a>0$。整理すると $-1<a<0$。

① 連立して方程式にする。 $x^2=2x+a$ より

$$x^2-2x-a=0$$

$g(x)=x^2-2x-a$ とおく。これが異なる $2$ 正解をもてばよい。

② $3$ 条件を書く。 軸は $x=1$。

• 判別式:$\frac{D}{4}=1-(-a)=1+a>0$ → $a>-1$。
• 軸:$x=1>0$(つねに成立)。
• $g(0)=-a>0$ → $a<0$。

③ 連立する。 $a>-1$ かつ $a<0$ より

$$-1<a<0$$

まとめ:$2$ 曲線の交点の位置は「連立した方程式の解の位置」に言い換える。ここでは軸 $x=1$ が最初から正なので、判別式と $g(0)$ の $2$ 条件で決まった。交点そのものを求めずに済むのが解の配置の強み。

発展。 放物線と直線の交点の $x$ 座標は、$y$ を消去した $2$ 次方程式の解。「交点が正の側」「交点が区間内」などの図形条件は、すべてこの $2$ 次方程式の解の配置の問題に直せる。逆に、$2$ 次方程式の解の配置問題は放物線と直線(または $x$ 軸)の交わりとして図で見ると分かりやすい。

別解

別解:解と係数の関係で「和 $>0$ かつ積 $>0$」(得意な人向けの視点)。 $x^2-2x-a=0$ の $2$ 解 $\alpha ,\beta$ が「異なる」「ともに正」を、和と積で書く。

異なる $2$ 実解: 判別式 $\frac{D}{4}=1-(-a)=1+a>0$、すなわち $a>-1$。ともに正: 和 $\alpha +\beta =2>0$(これは常に成立)かつ 積 $\alpha \beta =-a>0$、すなわち $a<0$。連立して $-1<a<0$。

放物線と直線の交点を、方程式 $x^2-2x-a=0$ に直した後は、前問と同じ「$2$ 正解」の判定になる。和 $=2$ が常に正なので、実質は「判別式 $>0$ かつ 積 $>0$」の $2$ 条件で決まる。図形の問題(放物線と直線)が、解と係数の関係でこんなに簡単になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 第 $1$ の不等式の解が「$x<-2$ または $3<x$」と外側に広がっている。これは下に凸($a>0$)で、$x$ 軸との交点が $-2$ と $3$ という意味だ。

だから $a{x}^2+bx+c=a(x+2)(x-3)$。展開して $b=-a$、$c=-6a$ と、$b,c$ を $a$ で表せる。これを第 $2$ の不等式 $c{x}^2+bx+a<0$ に代入する。$a>0$ で割れば、$a$ が消えて具体的な $2$ 次不等式になり、解ける。

① 係数を $a$ で表す。 解の形から $a>0$ で

$$a{x}^2+bx+c=a(x+2)(x-3)=a(x^2-x-6)=a{x}^2-ax-6a$$

係数を比べて $b=-a$、$c=-6a$。

② 第 $2$ 式に代入する。 $c{x}^2+bx+a<0$ に入れると

$$-6a{x}^2-ax+a<0$$

$a>0$ だから両辺を $a$ で割っても不等号の向きは変わらず

$$-6x^2-x+1<0⟹6x^2+x-1>0$$

(両辺に $-1$ を掛けたので向きが変わる。)

③ 解く。 $6x^2+x-1=(3x-1)(2x+1)$ より $(3x-1)(2x+1)>0$。下に凸で「外側」だから

$$x<-\frac{1}{2}\text{または}\frac{1}{3}<x$$

まとめ:係数が文字でも、解の情報から $2$ 次式を因数分解の形に固定できる。$a>0$ で割ると $a$ が消え、具体値は不要。負の数を掛けて不等号の向きを反転する $2$ か所(第 $2$ 式の整理)で、計算ミスが起きやすい。

発展。 「係数を逆順にすると解が逆数」($a{x}^2+bx+c$ の解 $\alpha ,\beta$ に対し $c{x}^2+bx+a$ の解は $\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta }$)は、$x\to \frac{1}{x}$ の置き換えに対応する。相反方程式(係数が左右対称)が解の逆数ペアをもつのも同じ原理。係数の対称性が解の構造を決める好例だ。

別解

別解:グラフを「$x$ 軸で反転」して係数の入れ替えを読む(得意な人向けの高い視点)。 $a{x}^2+bx+c$ と $c{x}^2+bx+a$ の関係を、係数を具体化せずに捉える。

$a{x}^2+bx+c=0$ の解を $\alpha ,\beta$ とすると、解と係数で $\alpha \beta =\frac{c}{a}$、$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$。一方 $c{x}^2+bx+a=0$ の解を調べると、$\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta }$ になる(係数を逆順にすると解が逆数になる)。第 $1$ 式の解は $-2,3$($x<-2,3<x$ が解だから境界)。だから第 $2$ 式 $c{x}^2+bx+a=0$ の解は $\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$ と $\frac{1}{3}$。

$c{x}^2+bx+a$ の $x^2$ の係数 $c=-6a<0$(上に凸)。上に凸の $2$ 次式が $<0$ になるのは、$2$ 解の外側。よって $x<-\frac{1}{2}$ または $x>\frac{1}{3}$。

$b,c$ を $a$ で表して代入する(本解)代わりに、「係数を逆順にすると解が逆数」という関係で、第 $2$ 式の解 $-\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ が第 $1$ 式の解 $-2,3$ の逆数だと一目で分かる。上に凸(係数 $c<0$)で不等号の向きも決まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 交点の $x$ 座標は $x^2-2ax+a=0$ の $2$ 解 $\alpha ,\beta$。交点間の距離は $|\alpha -\beta |$($x$ 軸上の $2$ 点なので $x$ 座標の差)。

$2$ 解の差は解の公式から $|\alpha -\beta |=\sqrt{D}$(判別式の平方根)。または $(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$ を解と係数で計算してもよい。距離 $=\sqrt{D}=2$ とおいて解く。$D=4a^2-4a=4$ から $a^2-a-1=0$、$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。

① $2$ 解の差を判別式で表す。 $x^2-2ax+a=0$ の判別式は

$$\frac{D}{4}=a^2-a⟹D=4(a^2-a)$$

解の公式 $x=a\pm \sqrt{a^2-a}$ より、$2$ 解の差(距離)は $2\sqrt{a^2-a}$。

② 距離 $=2$ とおく。

$$2\sqrt{a^2-a}=2⟹\sqrt{a^2-a}=1⟹a^2-a=1$$

③ 解く。 $a^2-a-1=0$ より $a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。このとき $a^2-a=1>0$ なので $D>0$(異なる $2$ 交点)も満たす。よって

$$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

まとめ:$x$ 軸との $2$ 交点の距離は「$2$ 解の差 $=\sqrt{D}$」($x^2$ の係数 $1$ のとき)。交点を求めずに判別式だけで距離が書けるのが要点。最後に $D>0$(異なる $2$ 点)の確認も忘れない。

発展。 $x$ 軸から切り取る弦の長さ $\sqrt{D}=\sqrt{b^2-4ac}/|a|$ は、判別式の平方根そのもの。$2$ 次関数のグラフでは、判別式が「弦の長さの$2$乗($\times a^2$)」という幾何的な意味をもつ。$D>0$ で弦あり、$D=0$ で弦の長さ $0$(接する)、$D<0$ で交わらない、と一望できる。

別解

別解:グラフの「頂点の高さ」と幅の関係で出す(視覚で捉えるルート)。 $y=x^2-2ax+a$ を平方完成すると $y=(x-a{)}^2+(a-a^2)$。頂点は $(a,a-a^2)$。

下に凸の放物線が $x$ 軸から切り取る弦の長さは、頂点の深さ(負の高さ)と関係する。頂点の高さを $-h$($h>0$)とすると、$x$ 軸との交点は頂点から左右に $\sqrt{h}$ ずつ($y=0$ を解くと $(x-a{)}^2=h$)。だから弦の長さは $2\sqrt{h}$。

ここで $h=-(a-a^2)=a^2-a$。弦の長さ $2\sqrt{a^2-a}=2$ とおくと $a^2-a=1$、すなわち $a^2-a-1=0$、$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。解の差 $\sqrt{D}$(本解)を使うのと同じ $a^2-a-1=0$ に着くが、「頂点の深さ $h$ から弦が $2\sqrt{h}$」と図形的に読むと、$2$ 次関数の $D$($=4h$)と弦の長さ($2\sqrt{h}=\sqrt{D}$)の関係が見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$1$ より小さい解と大きい解を $1$ つずつ」= $x=1$ が $2$ 交点の間にある。下に凸のグラフでこれを言い換えると、$x=1$ でグラフが $x$ 軸より下、すなわち $f(1)<0$。

実は、この $1$ 条件だけで決まる。$f(1)<0$ なら、放物線は $x=1$ の左右で必ず $x$ 軸を $1$ 回ずつ横切る(下に凸で最下点が負)から、判別式や軸の条件は自動的に満たされる。$f(1)=1+(a-2)+a=2a-1<0$ を解いて $a<\frac{1}{2}$。

① 条件を書く。 $f(x)=x^2+(a-2)x+a$。$x=1$ が $2$ 解の間にあるのは $f(1)<0$。

$$f(1)=1+(a-2)+a=2a-1$$

② 解く。 $f(1)=2a-1<0$ より

$$a<\frac{1}{2}$$

このとき $f(1)<0$ なので、下に凸のグラフは $x=1$ の左右で $x$ 軸を $1$ 回ずつ横切り、確かに $1$ より小さい解と大きい解を $1$ つずつもつ(判別式の確認は不要)。

まとめ:「$1$ が $2$ 解の間」は、下に凸なら $f(1)<0$ の $1$ 本だけ。$2$ つの解が特定の値をはさむ配置は、その値での関数の符号がすべてを決める。判別式や軸の条件が要らない、いちばん軽い解の配置。

発展。 $f(k)<0$($a>0$)$⟺$「$k$ が $2$ 解の間」は、因数分解 $f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )$ に $x=k$ を入れた $f(k)=a(k-\alpha )(k-\beta )$ の符号で決まる。$1$ 点の符号だけで解の配置が分かるこの手は、$3$ 次以上でも「$f(k)$ の符号で $k$ が何番目の解の間か」を判定するのに使える。

別解

別解:$2$ 解が $1$ をはさむ $⟺$ $(\alpha -1)(\beta -1)<0$(解と係数のルート)。 「$\alpha <1<\beta$」を、解と係数の関係で書く。$1$ より小さい解と大きい解を $1$ つずつもつ $⟺$ $(\alpha -1)(\beta -1)<0$($1$ からのずれが異符号)。

展開すると $(\alpha -1)(\beta -1)=\alpha \beta -(\alpha +\beta )+1$。解と係数の関係で $\alpha \beta =a$、$\alpha +\beta =-(a-2)=2-a$ だから

$$(\alpha -1)(\beta -1)=a-(2-a)+1=2a-1.$$

これが負、すなわち $2a-1<0$ で $a<\frac{1}{2}$。$f(1)<0$(本解)と全く同じ式 $2a-1<0$ に着く。実は $f(1)=(\alpha -1)(\beta -1)$(因数分解 $f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )$ に $x=1$)なので、「$f(1)<0$」と「$(\alpha -1)(\beta -1)<0$」は同じこと。$2$ 解が定数をはさむ条件は、この積の符号だけで決まる。