東京大学 2026年度 数学(理科) 令和8(2026)年度 第2次学力試験 前期日程

(1) 関数 $f(\theta )=\sin \theta -\theta +\frac{{\theta }^3}{6}$ の区間 $-1\leqq \theta \leqq 1$ における最大値 $M$ および最小値 $m$ を求めよ。

(2) (1) で定めた $M$ に対し，次の不等式を示せ。

$$\frac{7}{8}\pi \leqq {\int }_0^{2\pi }\sin (\cos x-x)dx\leqq \frac{7}{8}\pi +4M$$

$n$ を正の整数とする。座標平面上の $3n$ 個の点がなす集合

$$\{(x,y)\mid x,y\text{は}1\leqq x\leqq 3,1\leqq y\leqq n\text{を満たす整数}\}$$

から相異なる $3$ 点を選ぶ。ただし，どの $3$ 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ $3$ 点が三角形の $3$ 頂点となる確率を $p_n$ とする。

(1) $p_5$ を求めよ。

(2) $m$ を $2$ 以上の整数とする。$p_{2m}$ を求めよ。

座標空間内の原点を中心とする半径 $5$ の球面を $S$ とする。$S$ 上の相異なる $3$ 点 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ が次の条件を満たすように動く。

条件： $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は $xy$ 平面上にあり，三角形 $\mathrm{PQR}$ の重心は $\mathrm{G}(2,0,1)$ である。

以下の問いに答えよ。

(1) 線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を $xy$ 平面上に図示せよ。

(2) 線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する範囲を $xy$ 平面上に図示せよ。

$k$ を実数とし，座標平面上の曲線 $C$ を $y=x^3-kx$ で定める。$C$ 上の $2$ 点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ に対する以下の条件 $(\ast )$ を考える。

条件 $(\ast )$　原点 $\mathrm{O}$，点 $\mathrm{P}$，点 $\mathrm{Q}$ は相異なり，$C$ の $\mathrm{O},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ における接線のうち，どの $2$ 本も交わり，そのなす角はすべて $\frac{\pi }{3}$ となる。

ただし，$2$ 直線のなす角は $0$ 以上 $\frac{\pi }{2}$ 以下の範囲で考えるものとする。

(1) 条件 $(\ast )$ を満たす $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ。

(2) $k$ が (1) で定まる範囲にあるとする。$\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が条件 $(\ast )$ を満たすように動くとき，$C$ の $\mathrm{O},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$，最小値を $m$ とおく。ただし，$3$ 本の接線が $1$ 点で交わるときは $S=0$ とする。$M=4m$ となる $k$ の値を求めよ。

複素数平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。複素数 $\alpha$ と $C$ 上の点 $\mathrm{P}(z)$ に対し，$w=(z-\alpha {)}^3$ とおく。$\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くときの点 $\mathrm{Q}(w)$ の軌跡を $D$ とする。

(1) $\alpha =-3$ とし，$w$ の偏角を $\theta$ とおく。$\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くとき，$\sin \theta$ がとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $\alpha$ が次の条件を満たすように動く。

条件： $D$ は実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つ。

複素数平面上の点 $\mathrm{R}(\alpha )$ が動きうる範囲の面積を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$n$ の正の約数のうち，$3$ で割って $1$ 余るものの個数を $f(n)$，$3$ で割って $2$ 余るものの個数を $g(n)$ とする。

(1) $f(2800),g(2800)$ を求めよ。

(2) $f(n)\geqq g(n)$ を示せ。

(3) $g(n)=15$ であるとき，$f(n)$ がとりうる値を求めよ。