入試過去問 / 東京大学 2026年度数学(理科)

第2問 3列に並んだ格子点から選んだ3点が三角形になる確率

確率場合の数格子点

出典東京大学令和8年度第2次学力試験前期日程数学(理科) 第2問

問題文は東京大学が公表した試験問題からの引用です。解答・解説はtelvia演習ラボが作成したもので、東京大学が公表したものではありません。

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問題

$n$ を正の整数とする。座標平面上の $3 n$ 個の点がなす集合

${(x, y) ∣ x, y は 1 ≦ x ≦ 3, 1 ≦ y ≦ n を満たす整数}$

から相異なる $3$ 点を選ぶ。ただし，どの $3$ 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ $3$ 点が三角形の $3$ 頂点となる確率を $p_{n}$ とする。

(1) $p_{5}$ を求めよ。

(2) $m$ を $2$ 以上の整数とする。 $p_{2 m}$ を求めよ。

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三角形にならない場合のほうが数えやすい。3点が一直線に並ぶのはどんなときか。3本の列から1点ずつとるとき、真ん中の列の点はどこにあればよいか。

解答・解説

方針

一直線に並ぶ3点を数えて全体から引く。一直線に並ぶのは、同じ列の3点と、3つの列から1点ずつとって真ん中の点が中点になる3点。後者は両端の点の $y$ 座標の偶奇がそろう組の数になる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 3点が三角形にならないのは、3点が一直線に並ぶときだけだ。三角形になる選び方を直接数えるより、一直線に並ぶ選び方を数えて全体から引くほうが数が少ない。

点は $x = 1, 2, 3$ の3本の縦の列に並んでいる。一直線に並ぶ3点は「同じ列の3点」か「3つの列から1点ずつ」のどちらかで、後者は真ん中の列の点が中点になるときに限られる。

① 全体の数。 $3 n$ 個から $3$ 個選ぶので $_{3 n} C_{3}$ 通り。

② 一直線に並ぶ3点を2種類に分ける。 3点のうち2点が同じ列にあると、その2点を通る直線は縦の直線になる。だから一直線に並ぶ3点は、次のどちらかである。

3点とも同じ列にある。
3つの列から1点ずつ選ばれている。

③ 同じ列の3点。 1つの列に $n$ 点あるので $_{n} C_{3}$ 通り。列は3本あるので $3 \cdot_{n} C_{3}$ 通り。

④ 列から1点ずつの3点。 3点を $(1, a), (2, b), (3, c)$ とする。 $x$ 座標が等間隔なので、一直線に並ぶのは $y$ 座標も等間隔、つまり

$b - a = c - b ⟺ a + c = 2 b$

のときだ。 $a, c$ を決めると $b = \frac{a + c}{2}$ が決まり、 $b$ は $a$ と $c$ のあいだにあるので $1 ≦ b ≦ n$ は自動的に成り立つ。よって、 $a + c$ が偶数、つまり $a$ と $c$ の偶奇が同じになる組 $(a, c)$ を数えればよい。 $1$ から $n$ までの奇数の個数を $s$ 、偶数の個数を $t$ とすると、 $s^{2} + t^{2}$ 通りになる。

⑤ (1) $n = 5$ のとき。 奇数は $1, 3, 5$ の $3$ 個、偶数は $2, 4$ の $2$ 個なので、④ は $9 + 4 = 13$ 通り。③ は $3 \cdot_{5} C_{3} = 30$ 通り。一直線に並ぶ3点は $43$ 通りで、全体は $_{15} C_{3} = 455$ 通り。

$p_{5} = 1 - \frac{43}{455} = \frac{412}{455}$

n=5 の場合の15個の点。同じ列の3点(青の直線)と、(1,1)・(2,3)・(3,5) のように真ん中の列の点が中点になる3点(赤の直線)は一直線に並ぶ

⑥ (2) $n = 2 m$ のとき。 奇数も偶数も $m$ 個なので、④ は $2 m^{2}$ 通り。③ は

$3 \cdot_{2 m} C_{3} = 3 \cdot \frac{2 m ( 2 m - 1 ) ( 2 m - 2 )}{6} = 2 m (2 m - 1) (m - 1)$

合わせると

$2 m (2 m - 1) (m - 1) + 2 m^{2} = 2 m (2 m^{2} - 2 m + 1)$

全体は

$_{6 m} C_{3} = \frac{6 m ( 6 m - 1 ) ( 6 m - 2 )}{6} = 2 m (6 m - 1) (3 m - 1)$

よって

$p_{2 m} = 1 - \frac{2 m ^{2} - 2 m + 1}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )} = \frac{( 18 m ^{2} - 9 m + 1 ) - ( 2 m ^{2} - 2 m + 1 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )} = \frac{m ( 16 m - 7 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )}$

たとえば $m = 2$ では $\frac{2 \cdot 25}{11 \cdot 5} = \frac{10}{11}$ で、 $n = 4$ の場合を直接数えた結果( $220$ 通りのうち $200$ 通り)と一致する。

まとめ:三角形にならない選び方(一直線に並ぶ3点)を数えて全体から引いた。一直線に並ぶ3点は「同じ列の3点」と「真ん中の列の点が中点になる3点」の2種類で、後者は両端の $y$ 座標の偶奇がそろう組を数えればよい。

発展。 $m$ を大きくすると $p_{2 m}$ は $\frac{16}{18} = \frac{8}{9}$ に近づく。一直線に並ぶ3点のうち、数が多いのは同じ列の3点のほうで、およそ $\frac{n ^{3}}{2}$ 通りある。列から1点ずつの3点は $\frac{n ^{2}}{2}$ 通り程度なので、 $n$ が大きいと割合はほとんど縦の列だけで決まり、全体 $\frac{9 n ^{3}}{2}$ 通り程度に対して $\frac{1}{9}$ になる。

答

(1) $p_{5} = \frac{412}{455}$ (2) $p_{2 m} = \frac{m ( 16 m - 7 )}{( 6 m - 1 ) ( 3 m - 1 )}$

別解

別解:④ を直線の傾きで分けて数える。 列から1点ずつの3点 $(1, a), (2, a + d), (3, a + 2 d)$ を、1列進むごとの $y$ の増え方 $d$ で分ける。 $a$ と $a + 2 d$ がどちらも $1$ 以上 $n$ 以下であればよいので、 $d$ を決めると $a$ の選び方は $n - 2 ∣ d ∣$ 通りある( $n - 2 ∣ d ∣ ≧ 1$ のとき)。

$n = 5$ なら、 $d = 0$ で $5$ 通り、 $d = \pm 1$ で $3$ 通りずつ、 $d = \pm 2$ で $1$ 通りずつ。合計 $5 + 6 + 2 = 13$ 通りで、偶奇で数えた結果と一致する。

$n = 2 m$ なら、 $d = 0$ で $2 m$ 通り、 $d = \pm j (1 ≦ j ≦ m - 1)$ で $2 m - 2 j$ 通りずつなので

$2 m + 2 j = 1 \sum m - 1 (2 m - 2 j) = 2 m + 4 \cdot \frac{( m - 1 ) m}{2} = 2 m^{2}$

これも偶奇による数え方と同じ値だ。直線の向きごとに数えると、横一列( $d = 0$ )が最も多く、傾きが急になるほど少なくなる様子が分かる。

ポイント

三角形にならない $⟺$ 3点が一直線上。こちらを数えて全体から引く。
同じ列の2点を通る直線は縦なので、一直線の3点は「同じ列」か「各列から1点」。
$(1, a), (2, b), (3, c)$ が一直線 $⟺ a + c = 2 b ⟺ a, c$ の偶奇が同じ。

よくある間違い

横一列の3点(同じ $y$ の3点)を別に数えて足し、二重に数えてしまう。 $a = b = c$ の場合は $a + c = 2 b$ の中に入っている。
同じ列の3点を1本の列の分 $_{n} C_{3}$ だけにして、3本分の $3$ 倍を忘れる。
$a, c$ を決めたあと、中点の $b$ が $1 ≦ b ≦ n$ に入るかどうかで場合分けしてしまう。 $b$ は $a$ と $c$ のあいだにあるので、必ず範囲に入る。