入試過去問 / 東京大学 2026年度数学(理科)

第5問 3乗した複素数の軌跡が実軸と交わる条件

複素数平面偏角軌跡

出典東京大学令和8年度第2次学力試験前期日程数学(理科) 第5問

問題文は東京大学が公表した試験問題からの引用です。解答・解説はtelvia演習ラボが作成したもので、東京大学が公表したものではありません。

問題

複素数平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。複素数 $α$ と $C$ 上の点 $P (z)$ に対し， $w = (z - α)^{3}$ とおく。 $P$ が $C$ 上を動くときの点 $Q (w)$ の軌跡を $D$ とする。

(1) $α = - 3$ とし， $w$ の偏角を $θ$ とおく。 $P$ が $C$ 上を動くとき， $sin θ$ がとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $α$ が次の条件を満たすように動く。

条件： $D$ は実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つ。

複素数平面上の点 $R (α)$ が動きうる範囲の面積を求めよ。

ヒントを見る

$w$ の偏角は $z - α$ の偏角の何倍か。 $z - α$ が動く円を原点から見ると、偏角はどんな範囲を動くか。(2) では、正の実軸と負の実軸に対応する $z - α$ の偏角がどう並ぶかを書き出せるか。

解答・解説

方針

(1) は $z + 3$ が中心 $3$ 、半径 $1$ の円を動くことから偏角の範囲を出し、 $3$ 倍して $sin θ$ の範囲を求める。(2) は $z - α$ の偏角の範囲に $\frac{π}{3}$ の倍数が隣り合って2つ入る条件を、円の中心 $- α$ の位置で表す。対称性で $12$ 個に分けて面積を出す。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $w = (z - α)^{3}$ の偏角は、 $z - α$ の偏角の $3$ 倍だ。そこで $z - α$ がどんな偏角をとるかを調べる。 $z$ は単位円上を動くので、 $z - α$ は中心 $- α$ 、半径 $1$ の円の上を動く。原点からこの円を見込む角の範囲が、偏角の範囲になる。

(2) の「 $w$ が正の実数」は $z - α$ の偏角が $0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ のどれかであること、「 $w$ が負の実数」は $\frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$ のどれかであることだ。原点から $\frac{π}{3}$ おきに出る6本の半直線を考え、円がどの半直線と交わるかを調べればよい。

① (1) $z + 3$ の動く範囲。 $α = - 3$ なので $z - α = z + 3$ 。 $∣(z + 3) - 3 ∣ = ∣ z ∣ = 1$ だから、点 $z + 3$ は中心 $3$ 、半径 $1$ の円の上を動く。

② 偏角の範囲。 原点からこの円に接線を引き、接線と実軸のなす角を $β$ とする。中心までの距離が $3$ 、半径が $1$ なので $sin β = \frac{1}{3}$ ( $0 < β < \frac{π}{2}$ )。 $z + 3$ の偏角は $- β$ 以上 $β$ 以下のすべての値をとる。

z+3 は中心 3、半径 1 の円の上を動く。原点から引いた2本の接線にはさまれた角が偏角の範囲で、sinβ=1/3

③ $θ$ の範囲と $sin θ$ 。 $θ$ は $3 ar g (z + 3)$ なので、 $- 3 β$ 以上 $3 β$ 以下を動く。 $sin β = \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ より $β < \frac{π}{6}$ なので $3 β < \frac{π}{2}$ 。この範囲で $sin θ$ は増加するから、とりうる値は $- sin 3 β$ 以上 $sin 3 β$ 以下だ。

公式3倍角の公式

sin 3 β = 3 sin β - 4 sin^{3} β

$sin 3 β = 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{1}{27} = \frac{23}{27}$

よって $- \frac{23}{27} ≦ sin θ ≦ \frac{23}{27}$ である。

④ (2) 条件を偏角で言い換える。 $c = - α$ とおくと、 $ζ = z - α$ は中心 $c$ 、半径 $1$ の円 $Γ$ の上を動く。 $w = ζ^{3}$ について

$w$ が正の実数 $⟺ ζ \neq = 0$ で、 $ar g ζ$ が $0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ のどれか
$w$ が負の実数 $⟺ ζ \neq = 0$ で、 $ar g ζ$ が $\frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$ のどれか

$\frac{π}{3}$ の倍数を順に見ると、正の実数になる角と負の実数になる角が交互に並ぶ。 $Γ$ 上の点の偏角の範囲はひと続きなので、両方の種類の角を含むことは、隣り合う2つの角を含むことと同じだ。

⑤ $∣ c ∣ ≦ 1$ のとき。 $∣ c ∣ < 1$ なら原点は $Γ$ の内側にあり、偏角はすべての値をとる。 $∣ c ∣ = 1$ なら $Γ$ は原点を通り、原点以外の点の偏角は $ar g c$ を中心とする幅 $π$ の範囲(両端は含まない)をとる。幅 $π$ の範囲には、隣り合う2つの角が必ず入る。どちらも条件を満たす。

⑥ $∣ c ∣ > 1$ のとき。 $c = r (cos ψ + i sin ψ)$ ( $r > 1$ )とする。(1) と同じように、 $Γ$ 上の点の偏角は $ψ - γ$ 以上 $ψ + γ$ 以下を動く。ここで $sin γ = \frac{1}{r}$ 、 $0 < γ < \frac{π}{2}$ 。

6本の半直線の配置は $\frac{π}{3}$ 回転しても、各半直線について折り返しても変わらない。条件もこれらの移動で変わらないので、 $0 ≦ ψ ≦ \frac{π}{6}$ の場合を調べれば十分だ。この範囲では、 $ψ$ に最も近い隣り合う2つの角は $0$ と $\frac{π}{3}$ で、ほかの組はもっと遠い。 $0$ と $\frac{π}{3}$ が入る条件は $ψ - γ ≦ 0$ かつ $\frac{π}{3} ≦ ψ + γ$ で、 $ψ ≦ \frac{π}{6}$ なので後者が成り立てば前者も成り立つ:

$γ ≧ \frac{π}{3} - ψ ⟺ \frac{1}{r} ≧ sin (\frac{π}{3} - ψ) ⟺ r sin (\frac{π}{3} - ψ) ≦ 1$

⑦ 図形として読む。 $r sin (\frac{π}{3} - ψ)$ は、点 $c$ から、原点を通り偏角 $\frac{π}{3}$ の向きの直線までの距離である。よって $0 ≦ ψ ≦ \frac{π}{6}$ の部分では、条件を満たす $c$ は、偏角 $0$ と $\frac{π}{6}$ の2本の半直線と、その直線に平行で距離 $1$ の直線 $3 x - y = 2$ で囲まれた三角形になる。この直線は $x$ 軸と $(\frac{2}{3}, 0)$ で、半直線 $y = \frac{x}{3}$ と $(3, 1)$ で交わるので、三角形の面積は

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

⑤ で調べた $∣ c ∣ ≦ 1$ の部分も、この三角形に含まれている。

⑧ 全体の面積。 同じ三角形が $12$ 個あるので、 $c$ の動く範囲の面積は $12 \cdot \frac{1}{3} = 43$ 。この範囲は、外側の頂点が原点から距離 $2$ にある六芒星(正三角形2つを重ねた形)で、原点について対称だから、 $α = - c$ の動く範囲も同じ形になる。求める面積は $43$ である。

ζ=z−α の平面。青の半直線上で w>0、赤の半直線上で w<0 になる。円 |ζ−(−α)|=1 の中心 −α が塗った六芒星(境界を含む)の中にあるとき、円は青と赤の両方に届く。破線の円は頂点 (√3,1) を中心とする例

まとめ:(1) は $z - α$ が動く円を原点から見込む角を $3$ 倍した。(2) は、正の実軸と負の実軸に対応する偏角が $\frac{π}{3}$ おきに交互に並ぶことから、「偏角の範囲に隣り合う2つの角が入る」条件に言い換えた。対称性で $12$ 個に分けると、1つの三角形の面積を求めるだけで済む。

発展。 六芒星を「1辺 $23$ の正三角形2枚の和」とみると、面積は $2 \times 33$ から、重なった正六角形の面積 $23$ を引いて $43$ と確かめられる。

答

(1) $- \frac{23}{27} ≦ sin θ ≦ \frac{23}{27}$ (2) $43$

別解

別解:円が半直線と交わる条件を距離で表す。 円 $Γ$ (中心 $c$ 、半径 $1$ )が、原点から出る半直線 $L$ と原点以外で交わる条件を考える。 $L$ の向きの単位ベクトルを $e$ 、中心 $c$ を表す点を $C$ とすると、 $L$ 上の点 $t e$ ( $t > 0$ )が $Γ$ 上にある条件は

$t^{2} - 2 (OC \cdot e) t + ∣ c ∣^{2} - 1 = 0$

$∣ c ∣ < 1$ なら解の積が負なので、正の解が必ずある。 $∣ c ∣ ≧ 1$ なら、正の解があるのは $OC \cdot e > 0$ で、判別式が $0$ 以上、つまり $C$ から $L$ を延ばした直線までの距離が $1$ 以下のときだ。

つまり $Γ$ が $L$ と交わるのは、 $C$ が単位円の内部にあるか、 $L$ に沿った幅 $2$ の帯のうち原点より先の部分にあるときである。正の実数に対応する3本の半直線の帯と、負の実数に対応する3本の半直線の帯を描くと、両方に入るのは隣り合う2本の帯が重なる6か所で、それらと単位円の内部を合わせると本解と同じ六芒星になる。

ポイント

$z - α$ は中心 $- α$ 、半径 $1$ の円を動く。原点からの見込む角が偏角の範囲。
$w > 0$ と $w < 0$ に対応する偏角は、 $\frac{π}{3}$ おきに交互に並ぶ。
条件を満たす $- α$ の範囲は、外側の頂点が原点から $2$ の六芒星で、面積は $43$ 。

よくある間違い

(1) で $z + 3$ の偏角の範囲を $3$ 倍し忘れ、 $- \frac{1}{3} ≦ sin θ ≦ \frac{1}{3}$ と答える。
(2) で $w$ が正の実数になるのを $ar g (z - α) = 0$ のときだけと考え、 $\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ を落とす。
$∣ α ∣ ≦ 1$ (円が原点を囲むか通る)の場合を別に確かめず、原点の近くを範囲から外してしまう。