第1問 三角関数が入れ子になった定積分の評価

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1) は導関数の符号を調べるだけだが、$f^{\prime }(\theta )=\cos \theta -1+\frac{{\theta }^2}{2}$ は見ただけでは符号が分からない。そこで $f^{\prime }$ をさらに微分して、$f^{\prime }$ 自身の増減を調べる。

(2) の被積分関数は $\sin$ の中に $\cos x$ が入っていて、原始関数が求まらない。加法定理で $\sin (\cos x)$ と $\cos (\cos x)$ の2つに分けると、片方は導関数の形になって積分が $0$ になる。残った $\sin (\cos x)$ は(1) の $f$ を使うと「多項式 $+f$」と書ける。多項式の部分は計算でき、計算できない $f$ の部分だけを (1) の結果ではさめばよい。

① (1) $f^{\prime }$ の符号を調べる。

$$f^{\prime }(\theta )=\cos \theta -1+\frac{{\theta }^2}{2}$$

これを $g(\theta )$ とおくと

$$g^{\prime }(\theta )=-\sin \theta +\theta ,g^{\prime \prime }(\theta )=1-\cos \theta \geqq 0$$

$g^{\prime \prime }\geqq 0$(等号は $\theta =0$ のときだけ)なので $g^{\prime }$ は増加し、$g^{\prime }(0)=0$ である。したがって $\theta <0$ で $g^{\prime }(\theta )<0$、$\theta >0$ で $g^{\prime }(\theta )>0$ となり、$g$ は $\theta =0$ で最小値 $g(0)=0$ をとる。

よって $f^{\prime }(\theta )=g(\theta )\geqq 0$ で、等号は $\theta =0$ のときだけだ。$f$ は $-1\leqq \theta \leqq 1$ で増加する。

② (1) 最大値と最小値。 $f$ は増加するので、最大は右端、最小は左端でとる。

$$M=f(1)=\sin 1-1+\frac{1}{6}=\sin 1-\frac{5}{6},m=f(-1)=-\sin 1+\frac{5}{6}$$

$f$ は奇関数なので、$m=-M$ にもなっている。

③ (2) 加法定理で分ける。

$\alpha =\cos x,\beta =x$ とおくと

$$\sin (\cos x-x)=\cos x\sin (\cos x)-\cos (\cos x)\sin x$$

④ 後ろの項の積分は $0$ になる。 合成関数の微分で $\{\sin (\cos x){\}}^{\prime }=-\cos (\cos x)\sin x$ だから

$${\int }_0^{2\pi }\cos (\cos x)\sin xdx=[-\sin (\cos x){]}_0^{2\pi }=-\sin 1+\sin 1=0$$

よって $I={\int }_0^{2\pi }\sin (\cos x-x)dx$ とおくと

$$I={\int }_0^{2\pi }\cos x\sin (\cos x)dx$$

⑤ $\sin (\cos x)$ を $f$ で書き直す。 $f$ の定義を $\sin \theta$ について解くと

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+f(\theta )$$

$\theta =\cos x$ を代入して $\cos x$ を掛けると

$$\cos x\sin (\cos x)={\cos }^{2}x-\frac{{\cos }^{4}x}{6}+\cos xf(\cos x)$$

⑥ 多項式の部分を積分する。

2回使うと ${\cos }^{4}x=\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}$ となる。$0$ から $2\pi$ まで積分すると $\cos 2x,\cos 4x$ の項は消えて

$${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}xdx=\pi ,{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{4}xdx=\frac{3}{8}\cdot 2\pi =\frac{3\pi }{4}$$

したがって、残りを $K={\int }_0^{2\pi }\cos xf(\cos x)dx$ とおくと

$$I=\pi -\frac{1}{6}\cdot \frac{3\pi }{4}+K=\frac{7}{8}\pi +K$$

⑦ $K$ を $0$ と $4M$ ではさむ。 $\theta =\cos x$ は $-1\leqq \theta \leqq 1$ を動く。この範囲で次の2つが成り立つ。

• $f$ は増加で $f(0)=0$ だから、$\theta$ と $f(\theta )$ は同じ符号になる。よって $\theta f(\theta )\geqq 0$。
• (1) より $-M\leqq f(\theta )\leqq M$ なので、$\theta f(\theta )=|\theta ||f(\theta )|\leqq M|\theta |$。

$\theta =\cos x$ とすると

$$0\leqq \cos xf(\cos x)\leqq M|\cos x|$$

これを $0$ から $2\pi$ まで積分する。$y=|\cos x|$ のグラフは面積 $1$ の山が $4$ つ並んだ形なので、${\int }_0^{2\pi }|\cos x|dx=4$ である。よって $0\leqq K\leqq 4M$ となり、

$$\frac{7}{8}\pi \leqq I\leqq \frac{7}{8}\pi +4M$$

が示された。

まとめ:(1) は $f^{\prime }$ の符号が見えないので、もう一度微分して $f^{\prime }$ の増減を調べた。(2) は加法定理で分けたうえで、積分できる多項式の部分と、できない $f$ の部分に分けた。$f$ の部分は「$\theta$ と同じ符号で、大きさは $M$ 以下」という情報だけではさめる。

発展。 $\sin \theta$ を $\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\frac{{\theta }^5}{120}-\cdots$ と展開する式(マクローリン展開)を使うと、$f(\theta )$ はおよそ $\frac{{\theta }^5}{120}$ である。これで $K$ を見積もると $K\fallingdotseq \frac{1}{120}{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{6}xdx=\frac{\pi }{192}\fallingdotseq 0.0164$ となり、実際の値 $K\fallingdotseq 0.0160$ に近い。なお、この積分 $I$ の値はベッセル関数とよばれる関数 $J_1$ を使うと $2\pi J_1(1)\fallingdotseq 2.7649$ と表される。

別解

別解:(1) の $f^{\prime }\geqq 0$ を半角の公式で示す。 もう一度微分しなくても、$1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$ を使うと

$$f^{\prime }(\theta )=\frac{{\theta }^2}{2}-(1-\cos \theta )=2\left\{{\left(\frac{\theta }{2}\right)}^2-{\sin }^2\frac{\theta }{2}\right\}$$

と書ける。単位円で中心角 $2u$ の弧の長さ $2|u|$ は、同じ中心角の弦の長さ $2|\sin u|$ 以上なので、$|\sin u|\leqq |u|$(等号は $u=0$ のときだけ)。これを $u=\frac{\theta }{2}$ に使うと、中かっこの中は $0$ 以上になり、$f^{\prime }(\theta )\geqq 0$ が分かる。

$\cos \theta \geqq 1-\frac{{\theta }^2}{2}$ という不等式が、「弧は弦より長い」という図形の事実から出てくることが見える。