力のモーメントのつり合いの式の立て方

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

剛体のつり合いは「力のつり合い」に「力のモーメントのつり合い」を足しただけの単元ですが、モーメントの計算で符号やうでの長さを間違えて失点する人が多いテーマです。式を立てる手順を毎回同じにしておくと、支点の選び方や、はしご・倒れる条件の問題でも迷いにくくなります。

力のモーメントの定義

力のモーメントは回転の中心から力の作用線までの垂直距離(うでの長さ)と、力の大きさの積です。「支点から作用点までの距離」ではなく「作用線までの垂直距離」であることが、最初の注意点です。力が斜めのときは、「力を分解して垂直な成分だけを使う」か「うでの長さを作用線までの垂線として縮める」かのどちらか一方で計算します。両方やると $sin θ$ が2重にかかってしまうので注意が必要です。剛体のつり合いの基礎「力のモーメントの定義」「斜めに加えた力のモーメント」で、この2通りの計算を練習できます。

手順1: 回転の向きを決める

反時計回りを正、時計回りを負、と決めて、図に矢印を描きます。「支点の右側の下向きの力」と「左側の上向きの力」は同じ向きの回転(時計回り)です。向きの判定は「その力だけがはたらいたら、剛体はどちらに回るか」を想像すると間違えません。

手順2: 未知の力の作用点を支点にする

モーメントのつり合いはどの点を中心にしても成り立ちます。だから、未知の力(ちょうつがいの反力・床からの垂直抗力・摩擦力)の作用点を中心にとると、その力のモーメントが0になって式から消えます。知りたくない力の作用点を支点にする方法は、この単元で何度も使う基本です。はしごの問題なら床との接点、ちょうつがいの棒ならちょうつがいを支点にするのがふつうです。

手順3: 力のつり合い2本とモーメント1本

剛体が静止する条件は、水平方向の力の和が0、鉛直方向の力の和が0、任意の点まわりのモーメントの和が0、の3本です。未知数が3つまでなら、この3本で解けます。未知数が4つ以上になる問題(4本脚の机など)は、条件が足りず、この単元の範囲では決まりません(最難関編の3本脚は決まるが4本脚は決まらない)。

剛体のつり合いの基礎「ちょうつがい付きの棒(2つのつり合い条件)」で3本を書く練習をし、標準「立てかけたはしご」「はしごに人が乗る」、応用「すべらない条件(一般式)」「どこまで登れるか」の順に進んでください。

重心の求め方

複数の部分からなる剛体の重心は、各部分の重心に各部分の重さが集中しているとみて、重さで重みづけした平均をとります。くり抜いた板は「残った部分 + 穴 = 元の板」から、穴を「負の重さ」として扱います。基礎「2物体の重心」、標準「L字形の板の重心」「くり抜いた円板の重心」が、この計算の問題です。重心が求まれば、その1点に全重力がはたらくとして、モーメントの計算ができます。

倒れるか、すべるか

物体を押したり台を傾けたりしたときに「倒れる」のは、重力の作用線が接地面の外に出るとき、「すべる」のは、必要な摩擦力が最大摩擦力 $μ N$ を超えるときです。どちらが先かは、2つの条件を別々に計算して比べます。幅 $b$ 、高さ $h$ の物体なら、 $\frac{b}{h}$ と $μ$ の大小で決まります。標準「倒れるのが先か、すべるのが先か」「台を傾けていくと物体はどうなるか」、応用「押す高さで変わる」で、2つの条件を並べて計算する練習をしてください。

テーブルの端から板をどこまで出せるか、積み木を何枚重ねてどこまで張り出せるか、という問題は、「重心が支えの端を越えない」条件で、上から順に「まとまり」の重心を追います(標準「テーブルの端からどこまで出せるか」、応用「積み木のオーバーハング(2枚)」、最難関編の積み木はどこまで張り出せるか)。

偶力

大きさが等しく向きが逆の平行な2力(偶力)は、力の和は0ですが、モーメントは0ではなく、どの点まわりで計算しても $F \times (2 力の間隔)$ です。「力の和が0なのに回る」のが偶力で、ドアの蝶番にかかる力(最難関編のドアの蝶番)のように、「鉛直の力しかないのに水平の力が出る」理由が偶力です。基礎「偶力とそのモーメント」で確認してください。

つまずきやすいところ

よくあるのは、モーメントの符号の取り違えです。手順1の「向きの矢印」を図に描いてから式を立ててください。うでの長さを「支点から作用点までの距離」にしてしまう人も目立ちますが、正しくは作用線への垂線の長さです。支点の選び方が悪くて未知数が消えず、連立が膨らんでしまったときは、手順2に戻ってください。