方べきの定理の3つの形(交わる2弦・2本の割線・接線と割線)

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年11月9日

円と点 $\mathrm{P}$ を固定し、$\mathrm{P}$ を通る直線が円と2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ で交わるとき、積 $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$ は直線の向きによらず一定です。これが方べきの定理で、点 $\mathrm{P}$ が円の内部にあるか外部にあるか、直線が接線かどうかによって3つの形で現れます。接線の長さと割線の長さの関係も、この定理の1つの形です。

3つの形

点 $\mathrm{P}$ を通る2本の直線が、円とそれぞれ $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ で交わるとします。

• $\mathrm{P}$ が円の内部にあるとき(2本の弦が $\mathrm{P}$ で交わる): $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$
• $\mathrm{P}$ が円の外部にあるとき(2本の割線): $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$
• $\mathrm{P}$ が円の外部にあり、一方が接線のとき(接点を $\mathrm{T}$ とする): ${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$

式の形はどれも同じで、「$\mathrm{P}$ から円との2つの交点までの距離の積」が等しいという内容です。接線の場合は、2つの交点が接点 $\mathrm{T}$ に重なったと考えると、$\mathrm{PT}\cdot \mathrm{PT}$ になります。

内部の例として、2本の弦が $\mathrm{P}$ で交わり、$\mathrm{PA}=4$、$\mathrm{PB}=3$、$\mathrm{PC}=2$ なら、$\mathrm{PD}=\frac{4\cdot 3}{2}=6$ です。接線の例として、外部の点 $\mathrm{P}$ から引いた割線が $\mathrm{PA}=2$、$\mathrm{AB}=6$ なら、$\mathrm{PB}=\mathrm{PA}+\mathrm{AB}=8$ で、${\mathrm{PT}}^2=2\cdot 8=16$ から $\mathrm{PT}=4$ になります。

証明は相似な三角形で

内部の場合は、$△\mathrm{PAC}$ と $△\mathrm{PDB}$ が相似であることから導きます。$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{DPB}$(対頂角)で、$\angle \mathrm{PAC}$ と $\angle \mathrm{PDB}$ はどちらも弧 $\mathrm{BC}$ に対する円周角なので等しくなります。相似比から $\mathrm{PA}:\mathrm{PD}=\mathrm{PC}:\mathrm{PB}$、すなわち $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$ です。

接線の場合は、$△\mathrm{PTA}$ と $△\mathrm{PBT}$ の相似を用います。$\angle \mathrm{P}$ が共通で、接線と弦のなす角 $\angle \mathrm{PTA}$ は接弦定理により $\angle \mathrm{PBT}$ に等しいので、$\mathrm{PT}:\mathrm{PB}=\mathrm{PA}:\mathrm{PT}$ から ${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$ が得られます。

公式を忘れたときも、どの2つの三角形が相似かを思い出せば式を再現できます。証明に必要な円周角の定理と接弦定理は、図形の性質の単元で扱っています。

一定の値は ${\mathrm{OP}}^2-r^2$ の絶対値

円の中心を $\mathrm{O}$、半径を $r$ とします。$\mathrm{P}$ と $\mathrm{O}$ を通る直線で考えると、2つの交点までの距離は $|\mathrm{OP}-r|$ と $\mathrm{OP}+r$ なので、一定の値は $|{\mathrm{OP}}^2-r^2|$ です。この値を点 $\mathrm{P}$ の方べきといいます。

$\mathrm{P}$ が外部にあるとき、$\mathrm{OT}\perp \mathrm{PT}$ なので三平方の定理から ${\mathrm{PT}}^2={\mathrm{OP}}^2-r^2$ となり、方べきの定理の接線の形と一致します。たとえば $r=3$、$\mathrm{OP}=5$ なら $\mathrm{PT}=4$ で、$\mathrm{P}$ を通るどの割線でも $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=16$ です。上の例の $\mathrm{PA}=2$、$\mathrm{PB}=8$ は、このような円と点の組の1つです。

座標平面では、円 $x^2+y^2+lx+my+n=0$ と点 $(p,q)$ に対して、左辺に代入した値 $p^2+q^2+lp+mq+n$ が ${\mathrm{OP}}^2-r^2$ に等しくなります。点が円の外部なら正、内部なら負、円周上なら $0$ です。円の方程式は数学IIの図形と方程式で扱います。

逆を用いて4点が同一円周上にあることを証明する

方べきの定理は逆も成り立ちます。2直線 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わり、$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$ が成り立つなら、4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ は同一円周上にあります。ただし、$\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ と線分 $\mathrm{CD}$ の両方の内部にあるか、両方の延長上にあるかのどちらかであることが条件です。

4点が同一円周上にあることを証明する方法には、円周角が等しいこと、四角形の対角の和が $180^{\circ }$ であることのほかに、この方べきの定理の逆があります。長さの情報が与えられている問題では、方べきの定理の逆が最も直接的です。

つまずきやすいところ

最も多い誤りは外部の点からの割線で $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{AB}$ を計算してしまうことです。積に用いるのは、どちらも $\mathrm{P}$ からの距離です。上の接線の例で $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{AB}=12$ とすると、$\mathrm{PT}=2\sqrt{3}$ という誤った値になります。

点の順番の確認も必要です。$\mathrm{P}$ が外部にあれば $\mathrm{PB}=\mathrm{PA}+\mathrm{AB}$、内部にあれば $\mathrm{AB}=\mathrm{PA}+\mathrm{PB}$ です。問題文の「近いほうから $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$」のような記述を、図に正確に反映してください。

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