滑車でつながれた2物体の速さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2 物体をまとめて 1 つの系と見る。糸の張力は内部の力で、系全体のエネルギーには顔を出さない(A にする仕事と B にする仕事が打ち消す)。だから系全体で力学的エネルギーが保存する。

A が $1.0\mathrm{m}$ 下がると、糸でつながった B は $1.0\mathrm{m}$ 上がり、2 物体は同じ速さ $v$ で動く。

① エネルギー保存を立てる。

A が失った位置エネルギーが、B が得た位置エネルギーと、2 物体の運動エネルギーに変わる。

$$m_{A}gh=m_{B}gh+\frac{1}{2}(m_A+m_B)v^2$$

② 速さを求める。

$$(3.0-1.0)\times 9.8\times 1.0=\frac{1}{2}\times (3.0+1.0)\times v^2$$

$$19.6=2.0v^2⟹v^2=9.8⟹v=\sqrt{9.8}\approx 3.1m/s$$

まとめ 駆動するのは A と B の重さの差($m_A-m_B$)で、動かされるのは両方の質量の和($m_A+m_B$)。前単元では運動方程式を連立してこの系を解いたが、エネルギーなら張力を一度も書かずに速さが出る。ただし「速さ」でなく「加速度」や「張力」が知りたいなら、運動方程式の出番になる — 目的に応じた使い分けだ。

別解

運動方程式+公式で解くルート(前単元との接続)。 前単元の結果 $a=\frac{(m_A-m_B)g}{m_A+m_B}=\frac{2.0\times 9.8}{4.0}=4.9m/{\mathrm{s}}^2$。等加速度で $1.0\mathrm{m}$ 動いたときの速さは

$$v^2=2ah=2\times 4.9\times 1.0=9.8⟹v=\sqrt{9.8}m/s$$

エネルギー保存と同じ答え。加速度を出す運動方程式ルートと、速さを直接出すエネルギールート、どちらも一致することを確かめておく。