物理基礎 / 仕事と力学的エネルギー

ばねで打ち上げる

★★ 標準力学的エネルギー保存弾性エネルギー位置エネルギー

問題

鉛直に立てたばね定数 $400 N/m$ のばねを $0.10 m$ 縮め、その上に質量 $0.20 kg$ の小球をのせて静かに放した。小球はばねに押し上げられて飛び出した。空気抵抗とばねの質量は無視でき、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

ばねが自然の長さになった位置を基準として、小球が達する最高点の高さを求めよ(ばねから離れた後の高さで考える。ばねの縮みは小球の到達高さに比べ十分小さいとして、蓄えた弾性エネルギーがすべて位置エネルギーになるとする)。

ヒントを見る

ばねに蓄えた弾性エネルギーが、最高点ではすべて重力による位置エネルギーに変わっている。½kx²=mgh とおこう。

解答・解説

方針

ばねの弾性エネルギーが、最高点ではすべて位置エネルギーに変わる。½kx²=mgh。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 エネルギーの変換を追う。ばねの弾性エネルギー → (飛び出すとき)運動エネルギー → (最高点で)位置エネルギー。始めと終わりだけ見れば、弾性エネルギーがまるごと位置エネルギーに変わる。

途中の速さを飛ばして、始点(ばね縮み)と終点(最高点)を直接結ぶ。

① エネルギー保存を立てる。

はじめの弾性エネルギーが、最高点の位置エネルギーに等しい。

$\frac{1}{2} k x^{2} = m g h$

② 高さを求める。

左辺 $= \frac{1}{2} \times 400 \times 0.1 0^{2} = \frac{1}{2} \times 400 \times 0.010 = 2.0 J$ 。

$h = \frac{2.0}{m g} = \frac{2.0}{0.20 \times 9.8} = \frac{2.0}{1.96} \approx 1.02 m$

約 $1.0 m$ 。

弾性 → 運動 → 位置と姿を変えるが、合計は 2.0 J のまま。始点と終点を結べば ½kx²=mgh

まとめ 途中でいったん運動エネルギーになるが、始めと終わりを結べば $\frac{1}{2} k x^{2} = m g h$ の一本で済む。エネルギー保存は「途中の姿」を気にせず、初めと終わりの形だけ比べられる。おもちゃのばね式の打ち上げロケットは、まさにこの弾性エネルギーを高さに変える装置だ。

答

約 $1.0 m$ ( $\frac{2.0}{0.20 \times 9.8} \approx 1.02 m$ )

別解

速さを経由するルート(途中も知りたいとき)。 ばねが自然長になった瞬間の速さは $\frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ から $v^{2} = \frac{k x ^{2}}{m} = \frac{400 \times 0.01}{0.20} = 20$ 、 $v = 20 m/s$ 。

そこから投げ上げとして $h = \frac{v ^{2}}{2 g} = \frac{20}{19.6} \approx 1.02 m$ 。同じ答え。途中の速さも知りたいならこの 2 段階、最高点だけでよいなら本解の一発、と選べる。

ポイント

弾性エネルギー → 位置エネルギー(最高点で運動エネルギー 0)
½kx²=mgh
途中の運動エネルギーを飛ばして始点・終点で結ぶ

よくある間違い

ばねの縮みの分の高さ変化を二重に数えて混乱する(問題文の近似に従い弾性→位置で結ぶ)
½kx² の x を 2 乗し忘れる
$h = 2.0/1.96$ の割り算を大きく誤る(約 1.0 m)