斜面から水平面へ(摩擦を含むエネルギー収支)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 物体は位置エネルギー $mgh$ をもって出発し、斜面と水平面で摩擦にエネルギーを奪われ続け、すべて奪われたところで止まる。始点と終点だけを見て、エネルギーの帳簿を一本立てるのが賢い。

途中の速さを求める必要はない。「はじめの位置エネルギー=斜面の摩擦の仕事+水平面の摩擦の仕事」だ。

① 各部分の摩擦のエネルギー。

斜面に沿った長さは $L=\frac{h}{\sin \theta }=\frac{1.5}{0.60}=2.5\mathrm{m}$。斜面上の垂直抗力は $mg\cos \theta$ なので、斜面での摩擦のエネルギーは

$${\mu }^{\prime }mg\cos \theta \cdot L={\mu }^{\prime }mg\times 0.80\times 2.5=2.0{\mu }^{\prime }mg$$

水平面での摩擦のエネルギー($x$ を求める距離)は ${\mu }^{\prime }mg\cdot x$。

② エネルギー収支。

$$mgh={\mu }^{\prime }mg\cos \theta \cdot L+{\mu }^{\prime }mg\cdot x$$

両辺を $mg$ で割ると($m$ も $g$ も消える)

$$1.5=0.25\times 0.80\times 2.5+0.25\times x=0.5+0.25x$$

$$0.25x=1.0⟹x=4.0\mathrm{m}$$

まとめ 途中の最下点の速さを一切求めずに、始点と終点のエネルギーだけで答えが出た。途中経過を飛ばして初めと終わりだけ比べられるのが、エネルギーで解く最大の強みだ。もし運動方程式で解くなら、斜面と水平面で 2 回に分けて速さを追う必要があり、ずっと手間がかかる。

別解

2 段階を運動方程式で追うルート(比較用)。 斜面での加速度 $a_1=g(\sin \theta -{\mu }^{\prime }\cos \theta )=9.8\times 0.40=3.92m/{\mathrm{s}}^2$、最下点の速さ $v^2=2a_{1}L=2\times 3.92\times 2.5=19.6$。水平面での減速 $a_2={\mu }^{\prime }g=2.45m/{\mathrm{s}}^2$ で $x=\frac{v^2}{2a_2}=\frac{19.6}{4.9}=4.0\mathrm{m}$。

同じ答えだが、速さ $v$ を経由する分だけ手数が多い。始点と終点だけ気になるならエネルギー、途中の速さも知りたいなら運動方程式、と使い分けるのが実戦的だ。