鉛直投げ上げの最高点(エネルギーで)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 投げ上げは「運動エネルギー → 位置エネルギー」の変換だ。最高点では速さがゼロ、つまり運動エネルギーがゼロで、初めの運動エネルギーがまるごと位置エネルギーに変わっている。

① エネルギー保存を立てる。

地面を基準面とし、投げた瞬間(高さ $0$、速さ $9.8$)と最高点(高さ $h$、速さ $0$)で

$$\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$$

② 高さを求める。

$$h=\frac{v^2}{2g}=\frac{9.8^2}{2\times 9.8}=\frac{9.8}{2}=4.9\mathrm{m}$$

まとめ 前単元では「最高点で速度 $0$」を運動の式に入れて解いた。エネルギーで見ると「運動エネルギーが位置エネルギーに全部移る」という一言で同じ結論に着く。$h=\frac{v^2}{2g}$ は投げ上げでも斜面でも成り立つ、$v^2=2gh$ の言い換えだ。行きも帰りも同じエネルギーだから、戻ってきたときの速さが投げたときと同じ($9.8m/s$)になることも、エネルギー保存から即座に言える。

別解

運動の公式と照合するルート(つながり)。 前単元の $v^2=2gh$(投げ上げの最高点条件)に $v=9.8$ を入れると $9.8^2=2\times 9.8\times h$、$h=4.9\mathrm{m}$。

エネルギー保存 $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$ の両辺を $m$ で割れば $\frac{1}{2}{v}^2=gh$、つまり $v^2=2gh$。同じ式だ。「速度 $0$ を代入する」のも「運動エネルギーがゼロになる」のも、同じ現象の別の言い方だとわかる。