摩擦で止まるまでの距離(エネルギー収支)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 物体は初めの運動エネルギーをもっていて、摩擦がそれを少しずつ奪い、運動エネルギーがゼロになったところで止まる。

つまり「初めの運動エネルギー=摩擦が奪ったエネルギー」。摩擦が奪うエネルギーは、摩擦力 × 滑った距離だ。

① エネルギー収支を立てる。

動摩擦力は $f={\mu }^{\prime }mg=0.25\times 2.0\times 9.8=4.9\mathrm{N}$。滑る距離を $x$ とすると

$$\frac{1}{2}m{v}^2=f\cdot x={\mu }^{\prime }mg\cdot x$$

② 距離を求める。

両辺の $m$ が消えて

$$x=\frac{v^2}{2{\mu }^{\prime }g}=\frac{7.0^2}{2\times 0.25\times 9.8}=\frac{49}{4.9}=10\mathrm{m}$$

まとめ 式 $x=\frac{v^2}{2{\mu }^{\prime }g}$ を見ると、止まるまでの距離は速さの $2$ 乗に比例する。速さ $2$ 倍で距離 $4$ 倍 — 前単元でブレーキの制動距離として出てきた事実が、ここでもエネルギーの言葉で再現される。質量が消えるのは、運動エネルギーも摩擦力も両方 $m$ に比例して相殺するからだ。

別解

運動方程式で解くルート(検算)。 動摩擦だけで減速するので $a=-{\mu }^{\prime }g=-2.45m/{\mathrm{s}}^2$。時間を含まない公式で

$$0-7.0^2=2\times (-2.45)x⟹x=\frac{49}{4.9}=10\mathrm{m}$$

同じ答え。エネルギー($\frac{1}{2}m{v}^2={\mu }^{\prime }mgx$)の両辺を $m$ で割ると $\frac{1}{2}{v}^2={\mu }^{\prime }gx$、つまり運動方程式から出る式そのもの。2 つの道が同じ地点に着くことを確かめておく。