なめらかな斜面をすべり下りる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 なめらかな斜面では、垂直抗力は運動方向に垂直で仕事をしない。仕事をするのは重力だけだから、力学的エネルギーが保存する。

振り子(前問)と同じ構造だ。高さの差だけで最下点の速さが決まり、斜面の角度は関係ない。

① エネルギー保存を立てる。

最下点を基準面とし、はじめ(高さ $1.25$、速さ $0$)と最下点(高さ $0$、速さ $v$)で

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$

② 速さを求める。

$$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times 1.25}=\sqrt{24.5}=3.5\sqrt{2}\approx 4.95m/s$$

まとめ 自由落下・振り子・なめらかな斜面 — この 3 つは見た目がまったく違うのに、同じ高さから出発すれば最下点の速さは同じ $\sqrt{2gh}$ になる。「なめらかなら経路の形によらず、高さの差だけ」が力学的エネルギー保存のいちばんの威力だ。速さは向きを含まないので、下り方(角度)は問わない。

別解

角度を使って遠回りを確認するルート(理解の確認)。 もし角度 $30^{\circ }$ とわかっていれば、$a=g\sin 30^{\circ }=4.9m/{\mathrm{s}}^2$、斜面に沿った距離 $L=\frac{h}{\sin 30^{\circ }}=2.5\mathrm{m}$、$v^2=2aL=2\times 4.9\times 2.5=24.5$、$v=\sqrt{24.5}m/s$。

エネルギー保存と同じ答え。角度を使うと $a$ と $L$ の両方に $\sin \theta$ が現れて掛け合わさり、結局は $h$ だけが残る。エネルギーで解けば $\sin \theta$ を最初から書かずに済むのがわかる。