ばねで打ち出す物体

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ばねに縮めて蓄えたエネルギーが、物体を押して運動エネルギーに変わる。水平面なので高さは変わらず、重力の位置エネルギーは登場しない。

弾性エネルギー → 運動エネルギーの移り変わりだけを見ればよい。

① エネルギー保存を立てる。

はじめ(ばねが縮み、物体は静止)の弾性エネルギーが、離れるとき(ばねは自然長、物体は速さ $v$)の運動エネルギーに変わる。

$$\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{v}^2$$

② 速さを求める。

$$\frac{1}{2}\times 100\times 0.20^2=\frac{1}{2}\times 0.50\times v^2$$

左辺 $=2.0\mathrm{J}$ なので

$$v^2=\frac{2\times 2.0}{0.50}=8⟹v=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.8m/s$$

まとめ ばねのエネルギー $2.0\mathrm{J}$ がまるごと運動エネルギーに移った。おもちゃのばね鉄砲やピンボールの発射装置は、この仕組みそのもの。縮みを $2$ 倍にすれば弾性エネルギーは $4$ 倍($x^2$ だから)、速さは $2$ 倍になる。

別解

エネルギーの数値を追うルート(苦手な人向け)。 まず蓄えたエネルギーを出す: $\frac{1}{2}\times 100\times 0.20^2=\frac{1}{2}\times 100\times 0.040=2.0\mathrm{J}$。

これが運動エネルギー $\frac{1}{2}\times 0.50\times v^2$ に等しいから、$0.25v^2=2.0$、$v^2=8$、$v=2\sqrt{2}m/s$。式をまとめて解くより、$2.0\mathrm{J}$ という具体的な数を先に出す方が、エネルギーの移動が見えて安心できる。