振り子の最下点の速さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 振り子はカーブを描くが、糸の張力はつねに運動方向に垂直なので仕事をしない。仕事をするのは重力だけ。だから力学的エネルギーが保存する。

すると、途中の経路がカーブでも、高さの差だけで最下点の速さが決まる — 自由落下とまったく同じ結論になる。

① エネルギー保存を立てる。

最下点を基準面とする。放した点(高さ $h=0.20$、速さ $0$)と最下点(高さ $0$、速さ $v$)で

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$

② 速さを求める。

$$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times 0.20}=\sqrt{3.92}\approx 1.98m/s$$

まとめ 糸の長さも、振り始めの角度も、答えには出てこない。効くのは高さの差 $0.20\mathrm{m}$ だけ。同じ高さから放せば、まっすぐ落ちても、なめらかな斜面を滑っても、振り子で振れても、最下点の速さは同じ $\sqrt{2gh}$ になる。これは「なめらかなら経路によらない」というエネルギー保存の威力だ。

別解

斜面すべりと同一視するルート(理解の確認)。 もし高さ $0.20\mathrm{m}$ のなめらかな斜面を滑り下りたとしても $v=\sqrt{2gh}=1.98m/s$。振り子でも答えが同じなのは、どちらも「垂直抗力・張力は仕事をせず、重力だけが仕事をする」からだ。

仕事をしない力(垂直抗力・張力)は、いくら大きくても速さの計算に無関係。「何が仕事をするか」だけ見ればよい、という視点が身につく問題だ。