物理基礎 / 仕事と力学的エネルギー

摩擦のある水平面で引く(エネルギーの原理)

★★ 標準エネルギーの原理摩擦運動エネルギー

問題

粗い水平面上で静止していた質量 $2.0 kg$ の物体に、運動の向きに $20 N$ の力を加えて $5.0 m$ 動かした。この間、物体には一定の動摩擦力 $8.0 N$ がはたらいた。

(1) 引く力がした仕事と、摩擦力がした仕事をそれぞれ求めよ。

(2) 動かした後の物体の速さを求めよ。

ヒントを見る

物体にはたらく力は引く力(正の仕事)と摩擦力(負の仕事)。両方の仕事を足したものが運動エネルギーの増加になる。

解答・解説

エネルギーの原理は「合力がした仕事=運動エネルギーの変化」。正の仕事と負の仕事を足し合わせて運動エネルギーの増加を出す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 エネルギーの原理の本領は、複数の力の仕事を足し合わせるところにある。正の仕事も負の仕事も、符号つきで足せばよい。

① それぞれの仕事。

② 運動エネルギーの変化。

合計の仕事が運動エネルギーの増加になる。

$W_{1} + W_{2} = 100 - 40 = 60 J$

引いた 100 J のうち 40 J は摩擦熱に逃げ、残り 60 J が運動エネルギーになる

静止スタートなので

$\frac{1}{2} \times 2.0 \times v^{2} = 60 ⟹ v^{2} = 60 ⟹ v = 60 = 215 \approx 7.7 m/s$

まとめ 引いたエネルギー $100 J$ のうち、 $40 J$ は摩擦熱として逃げ、残り $60 J$ が運動エネルギーになった。エネルギーの出入りを帳簿のように追うのがこの原理の使い方だ。摩擦があっても、正負の仕事を足すだけで速さが出せる。

答

(1) 引く力 $100 J$ 、摩擦力 $- 40 J$ (2) $60 = 215 \approx 7.7 m/s$

運動方程式で解くルート(検算)。 合力は $20 - 8.0 = 12 N$ 、加速度 $a = \frac{12}{2.0} = 6.0 m/ s^{2}$ 。時間を含まない公式で

$v^{2} = 2 a x = 2 \times 6.0 \times 5.0 = 60 ⟹ v = 60 m/s$

同じ答え。エネルギーの原理は「合力の仕事」を使うが、運動方程式は「合力そのもの」を使う — 見ている量が違うだけで、 $W = (合力) x$ でつながっている。