斜面を押し上げる仕事(仕事の原理)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 斜面は「小さい力で高い所へ運ぶ道具」だ。前問の滑車と同じく、力は減るが距離が伸びて、仕事は同じになるはず。それを実際に確かめる問題だ。

① 押す力の仕事。

なめらかな斜面を等速で押し上げるには、重力の平行成分 $mg\sin \theta$ とつり合う力が要る。

$$F=mg\sin \theta =4.0\times 9.8\times 0.60=23.52\mathrm{N}$$

これが斜面に沿った距離 $5.0\mathrm{m}$ にわたってはたらくから

$$W=23.52\times 5.0=117.6\mathrm{J}$$

② 直接持ち上げる仕事と比べる。

$$mgh=4.0\times 9.8\times 3.0=117.6\mathrm{J}$$

ぴったり一致した。

まとめ 斜面を使うと、真上に持ち上げる力 $mg=39.2\mathrm{N}$ が $23.52\mathrm{N}$ に減る。でも動かす距離は $3.0\mathrm{m}$ から $5.0\mathrm{m}$ に伸び、仕事は同じ。式で見れば $mg\sin \theta \times L=mg\times (L\sin \theta )=mgh$ — 距離に $\sin \theta$ を掛けると高さになるので、必ず一致する。

別解

重力の仕事から見るルート(得意な人向け)。 なめらかな斜面をゆっくり上げるとき、物体にはたらく力は「押す力」と「重力」と「垂直抗力」。垂直抗力は移動に垂直で仕事ゼロ。

速さが変わらない(運動エネルギー一定)から、押す力の仕事と重力の仕事は打ち消し合う。重力の仕事は高さの変化だけで決まり $-mgh=-117.6\mathrm{J}$。だから押す力の仕事は $+117.6\mathrm{J}$。斜面に沿った距離を一度も使わずに、高さだけで答えが出る。