物理基礎 / 仕事と力学的エネルギー

仕事の原理(動滑車)

★ 基礎仕事の原理滑車

問題

1 つの動滑車を使って、質量 $10 kg$ の荷物を高さ $2.0 m$ までゆっくり引き上げる。滑車と糸の質量、摩擦は無視できる。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

動滑車で荷物を引き上げる。引く力は重さの半分、引く距離は 2 倍

(1) 荷物を持ち上げるのに必要な仕事を求めよ。

(2) 糸を引く力の大きさと、糸を引く距離を求めよ。

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動滑車を使うと小さい力で持ち上げられるが、そのぶん長く引く必要がある。仕事そのものは道具で得しないのがポイント。

解答・解説

動滑車は力を半分にするが、引く距離は 2 倍になる。仕事(力×距離)は道具を使っても変わらない(仕事の原理)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 道具(滑車・てこ・斜面)を使うと力は小さくできる。でも、そのぶん動かす距離が長くなる。掛け算した仕事は、道具を使っても使わなくても同じ — これが仕事の原理だ。

重要仕事の原理: 道具を使っても、必要な仕事の総量は変わらない

① 必要な仕事。

荷物を高さ $2.0 m$ 持ち上げる仕事は、道具によらず

$W = m g h = 10 \times 9.8 \times 2.0 = 196 J$

② 引く力と距離。

動滑車 $1$ つでは、荷物を $2$ 本の糸で支えるので、引く力は重さの半分。

$F = \frac{m g}{2} = \frac{98}{2} = 49 N$

力が半分なら、同じ仕事 $196 J$ をするには距離が $2$ 倍必要。

$x = \frac{W}{F} = \frac{196}{49} = 4.0 m$

(荷物が $2.0 m$ 上がるのに糸を $4.0 m$ 引く、と直接考えてもよい。)

まとめ 「力で得した分だけ、距離で損する」。楽をしても仕事の総量はごまかせない、というのが物理の一貫した主張だ。斜面で重い物を押し上げるのも、てこで持ち上げるのも、みな同じ原理で説明できる。

答

(1) $196 J$ (2) 引く力 $49 N$ 、引く距離 $4.0 m$

距離の関係から先に考えるルート(苦手な人向け)。 動滑車では、荷物が $2.0 m$ 上がるとき、両側の糸がそれぞれ $2.0 m$ ずつ縮む必要があるので、手は $2.0 + 2.0 = 4.0 m$ 引く。

仕事は道具によらず $196 J$ だから、引く力は $F = \frac{196}{4.0} = 49 N$ 。「距離が 2 倍 → 力は半分」を、糸の動きから納得してから力を逆算する順序だ。