物理基礎 / 仕事と力学的エネルギー

仕事と運動エネルギーの関係

★ 基礎エネルギーの原理運動エネルギー

問題

なめらかな水平面上で静止していた質量 $2.0 kg$ の物体に、運動の向きに $6.0 N$ の一定の力を加え、 $3.0 m$ 動かした。

(1) この力がした仕事を求めよ。

(2) 動かした後の物体の速さを求めよ。

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物体にした仕事は、そのまま運動エネルギーの増加になる。静止からのスタートなので、仕事=½mv²。

解答・解説

仕事=運動エネルギーの変化(エネルギーの原理)。仕事を計算し、それが運動エネルギーの増加分に等しいとして速さを出す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 物体にした仕事は、そのまま運動エネルギーの変化になる。これがエネルギーの原理だ。

この問題を運動方程式で解くこともできるが、エネルギーで見ると「仕事 → 運動エネルギー」と一直線に結べる。

重要エネルギーの原理: (物体にした仕事の合計)

=

(運動エネルギーの変化)

\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}

① 仕事を計算する。

$W = 6.0 \times 3.0 = 18 J$

F-xグラフの面積 6.0×3.0=18 J が仕事。これがそのまま運動エネルギーの増加になる

② 速さを求める。

静止からのスタート( $v_{0} = 0$ )なので、仕事がそのまま運動エネルギーになる。

$18 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times v^{2} ⟹ v^{2} = 18 ⟹ v = 18 = 32 \approx 4.2 m/s$

まとめ エネルギーの原理は「合力がした仕事」で考える。摩擦などがあればその負の仕事も足し引きする(次の標準問題で扱う)。この原理のおかげで、力と距離から、時間を経由せずに速さが出せる。運動方程式と並ぶ、力学のもう一つの強力な道具だ。

答

(1) $18 J$ (2) $18 = 32 \approx 4.2 m/s$

運動方程式で解くルート(検算)。 加速度は $a = \frac{F}{m} = \frac{6.0}{2.0} = 3.0 m/ s^{2}$ 。時間を含まない公式で

$v^{2} = 2 a x = 2 \times 3.0 \times 3.0 = 18 ⟹ v = 32 m/s$

エネルギーの原理と同じ答え。実は $W = F x = ma x = m \cdot \frac{v ^{2}}{2}$ という変形が両者をつないでいる。どちらで解いてもよいが、力が変化する問題ではエネルギーの方が扱いやすいことが多い。