力学的エネルギー保存(自由落下)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空気抵抗がなければ、位置エネルギーと運動エネルギーの和は一定に保たれる。これが力学的エネルギー保存の法則だ。

はじめ(高い所)は運動エネルギー $0$、位置エネルギー最大。地面では位置エネルギー $0$、運動エネルギー最大。位置エネルギーが運動エネルギーに移り変わったと考える。

① 保存則を立てる。

地面を基準面とし、はじめの状態(高さ $h=1.8$、速さ $0$)と地面での状態(高さ $0$、速さ $v$)で

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$

② 速さを求める。

両辺の $m$ が消えて

$$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times 1.8}=\sqrt{35.28}\approx 5.94m/s$$

まとめ 結果 $v=\sqrt{2gh}$ は、前単元で等加速度の公式($v^2=2gh$)から出したものと同じ。同じ答えに 2 つの道(運動の式・エネルギーの式)で行き着いた。エネルギーで解くと、途中の時間や加速度を経由せず高さと速さだけで結べるのが強みだ。

別解

運動の公式と比べるルート(つながりの確認)。 前単元なら $v^2=2gh$ に $h=1.8$ を入れて $v^2=35.28$、$v\approx 5.94m/s$。

エネルギー保存 $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$ の両辺を $\frac{m}{2}$ で割ると、ちょうど $2gh=v^2$ になる。エネルギー保存の法則は、運動方程式を積み重ねたものと同じ内容を、別の言葉で述べているにすぎない。どちらで解いても矛盾しないことを確かめておくと安心だ。