弾性力による位置エネルギー

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 縮めた(伸ばした)ばねは、戻るときに物体を押して(引いて)仕事をする。この蓄えられたエネルギーが弾性力による位置エネルギーだ。

① 代入する。

$$U=\frac{1}{2}\times 200\times 0.10^2=\frac{1}{2}\times 200\times 0.010=1.0\mathrm{J}$$

まとめ 力 $F=kx$(フックの法則)は $x$ の $1$ 乗、エネルギー $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ は $x$ の $2$ 乗 — 別物なので混同しないこと。$2$ 乗のおかげで、縮みが $2$ 倍になると蓄えるエネルギーは $4$ 倍。縮みが正でも負(伸び)でも $x^2$ は正だから、伸ばしても縮めてもエネルギーは蓄えられる。

別解

F-x グラフの面積で見るルート(得意な人向け)。 ばねの力は $F=kx$ で、$F$-$x$ グラフは原点を通る傾き $k$ の直線。

ばねを $0$ から $x$ まで縮めるのに要する仕事は、このグラフの下の三角形の面積

$$\frac{1}{2}\times x\times kx=\frac{1}{2}k{x}^2$$

これがそのまま蓄えられる弾性エネルギー。$\frac{1}{2}$ の出どころは「力が $0$ から $kx$ まで一定の割合で増える(だから平均は半分)」ことだと、面積の図から見える。