物理基礎 / 仕事と力学的エネルギー

運動エネルギー

★ 基礎運動エネルギー

問題

質量 $2.0 kg$ の物体が速さ $6.0 m/s$ で運動している。この物体の運動エネルギーを求めよ。

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運動している物体がもつエネルギーは K=½mv²。速さは 2 乗することに注意。

解答・解説

方針

運動エネルギーは K=½mv²。速さの 2 乗に比例する点に注意して代入する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 動いている物体は、他の物体に仕事をする能力をもつ。この「動きのエネルギー」が運動エネルギーだ。

公式運動エネルギー

K = \frac{1}{2} m v^{2}

(

m

: 質量、

v

: 速さ)。単位は

J

① 代入する。

$K = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 6. 0^{2} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 36 = 36 J$

運動エネルギー K は速さ v の 2 乗に比例。v が 2 倍(3→6)で K は 4 倍(9→36)

まとめ 大事なのは速さの 2 乗に比例すること。速さが $2$ 倍になると運動エネルギーは $4$ 倍だ。だから制動距離(止まるまでの距離)も速さの $2$ 乗に比例する — 前単元でブレーキの問題に出てきた事実と、ここでつながる。運動エネルギーは、物体が動くことで蓄えている「仕事の貯金」のようなものだ。

答

$36 J$

別解

仕事から作るルート(得意な人向け)。 静止した質量 $m$ の物体に一定の力 $F$ を加え、距離 $x$ で速さ $v$ にしたとする。 $v^{2} = 2 a x$ かつ $F = ma$ だから

$W = F x = ma \cdot \frac{v ^{2}}{2 a} = \frac{1}{2} m v^{2}$

つまり運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2}$ は「静止からその速さにするのに必要な仕事」そのもの。公式の $\frac{1}{2}$ の出どころ( $v^{2} = 2 a x$ の $2$ )まで見えると、丸暗記から卒業できる。

ポイント

運動エネルギー K=½mv²(単位 J)
速さの 2 乗に比例(速さ 2 倍でエネルギー 4 倍)
「静止からその速さにする仕事」に等しい

よくある間違い

速さを 2 乗せず $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 6.0 = 6.0$ とする(v は 2 乗)
$\frac{1}{2}$ を忘れて 72 J とする
運動量 mv と混同する(運動量は向きつき・v の 1 乗、運動エネルギーは向きなし・v の 2 乗)