斜め方向の力がする仕事

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 力が移動の向きと斜めのとき、移動方向を向いた成分だけが仕事をする。上向きの成分は物体を前に進めないので、仕事には関係しない。

だから力を分解して、移動方向(水平)の成分を取り出す。

① 水平成分を取り出す。

力の水平成分は $F\cos 60^{\circ }=10\times 0.50=5.0\mathrm{N}$。

② 仕事を計算する。

$$W=5.0\times 4.0=20\mathrm{J}$$

(まとめて $W=10\times 4.0\times \cos 60^{\circ }=20\mathrm{J}$ でもよい。)

まとめ $\cos \theta$ の意味は「力のうち、移動方向にどれだけ効いているか」の割合だ。極端な場合で確かめると理解が固まる。$\theta =0$(力と移動が同じ向き)なら $\cos 0=1$ で全部効く。$\theta =90^{\circ }$(力が移動に垂直)なら $\cos 90^{\circ }=0$ で仕事ゼロ — これが「重い荷物を持って水平に歩いても重力は仕事をしない」理由でもある。

別解

移動を分解するルート(別の見方)。 力を分解する代わりに、移動を「力の向きの成分」と「力に垂直な成分」に分けても同じ答えになる。力の向きへの移動は $x\cos \theta =4.0\times 0.5=2.0\mathrm{m}$。

$$W=F\times (x\cos \theta )=10\times 2.0=20\mathrm{J}$$

「力を分解」でも「移動を分解」でも $W=Fx\cos \theta$ に行き着く。どちらで考えてもよいと知っておくと、問題に応じて楽な方を選べる。