半球面上をすべる(高さの差でエネルギー)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲面上の運動だが、なめらかなので垂直抗力は仕事をせず、力学的エネルギーが保存する。必要なのは下がった高さだけだ。

まず幾何で、頂点から角 $\theta$ の点までに下がった高さを求める。

① 下がった高さ。

頂点は中心から真上に $R$ の点。角 $\theta$ の点は、中心からの高さが $R\cos \theta$。だから下がった高さは

$$h=R-R\cos \theta =R(1-\cos \theta )=1.0\times (1-0.80)=0.20\mathrm{m}$$

② エネルギー保存で速さ。

頂点での速さをほぼ $0$ として

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2⟹v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times 0.20}=\sqrt{3.92}\approx 1.98m/s$$

まとめ ここでも速さは $\sqrt{2gh}$。曲面が球面でも、効くのは高さの差 $0.20\mathrm{m}$ だけだ。ポイントは幾何、つまり「角 $\theta$ の点が頂点よりどれだけ低いか」を $R(1-\cos \theta )$ と表せること。この形は円運動や振り子でも繰り返し出てくる重要な高さの式だ。

発展 — 一歩先へ。 実は小球はこの半球面をずっとは滑らない。ある角で面から離れて(垂直抗力が $0$ になって)放物運動に移る。その離れる角は、エネルギー保存に加えて円運動の考え(次の物理の単元)を使うと $\cos \theta =\frac{2}{3}$ と求まる。ここでは面上にある範囲($\cos \theta =0.80>\frac{2}{3}$)なので、まだ面に沿っている。

別解

高さを座標で確かめるルート(幾何の確認)。 中心を原点にとると、頂点は $(0,R)$、角 $\theta$ の点は $(R\sin \theta ,R\cos \theta )$。$y$ 座標の差が高さの差で、$R-R\cos \theta =R(1-\cos \theta )=0.20\mathrm{m}$。

あとは $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{3.92}\approx 1.98m/s$。「角 $\theta$ で高さが $R\cos \theta$」を座標で押さえておくと、$R(1-\cos \theta )$ の形を暗記でなく導ける。