摩擦とばねを組み合わせる(総合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 エネルギーの旅を順に追う。初めの運動エネルギー →($1.0\mathrm{m}$ の摩擦で目減り)→(残りが)ばねの弾性エネルギー。

始点(進んでくる物体)と終点(ばね最大縮みで停止)を、摩擦の損失を差し引いて結ぶ。

① 各エネルギーを出す。

• 初めの運動エネルギー: $\frac{1}{2}\times 2.0\times 4.0^2=16\mathrm{J}$
• ばねに達するまでの摩擦の損失: ${\mu }^{\prime }mg\cdot d=0.25\times 2.0\times 9.8\times 1.0=4.9\mathrm{J}$

② エネルギー収支。

運動エネルギーから摩擦の損失を引いた残りが、ばねの弾性エネルギーになる。

$$\frac{1}{2}k{x}^2=16-4.9=11.1\mathrm{J}$$

$$\frac{1}{2}\times 100\times x^2=11.1⟹x^2=\frac{2\times 11.1}{100}=0.222⟹x=\sqrt{0.222}\approx 0.47\mathrm{m}$$

まとめ エネルギーを「稼いだ分($16\mathrm{J}$)− 逃げた分($4.9\mathrm{J}$)= 蓄えた分($11.1\mathrm{J}$)」と帳簿で追った。複数のエネルギーの出入りがある問題でも、始点と終点の間の収支を一本立てれば解ける。摩擦(奪う)とばね(蓄える)が混ざっても、それぞれを符号つきで足し引きするだけだ。もしばねを縮める間の摩擦も考えるなら、その分さらに損失が増えて縮みは少し小さくなる(この問題では簡単のため無視した)。

別解

段階を分けて速さを追うルート(途中も知りたいとき)。 まず $1.0\mathrm{m}$ 進んでばねに達したときの速さ: $\frac{1}{2}\times 2.0\times v^2=16-4.9=11.1$ より $v^2=11.1$、$v=\sqrt{11.1}\approx 3.33m/s$。

そこから運動エネルギー $11.1\mathrm{J}$ がばねに移るので $\frac{1}{2}\times 100\times x^2=11.1$、$x\approx 0.47\mathrm{m}$。始点と終点を一発で結ぶ(本解)か、ばね到達時の速さを経由する(この別解)か。途中の速さも問われるなら段階を分けるとよい。