ばねに衝突して止まる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 物体はばねを縮めながら減速し、いったん止まった瞬間にばねの縮みが最大になる。その瞬間、運動エネルギーはゼロ、つまり運動エネルギーがまるごと弾性エネルギーに変わっている。

前の標準問題「ばねで打ち出す」の逆向きの変換だ。

① エネルギー保存を立てる。

$$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{x}^2$$

② 縮みを求める。

左辺 $=\frac{1}{2}\times 2.0\times 3.0^2=9.0\mathrm{J}$。

$$9.0=\frac{1}{2}\times 50\times x^2⟹x^2=\frac{2\times 9.0}{50}=0.36⟹x=0.60\mathrm{m}$$

まとめ なめらかな面なので、このあとばねは物体を押し返し、物体は縮めたエネルギーをそっくり返してもらって、元の速さ $3.0m/s$ で逆向きに戻っていく(エネルギーが保存するから)。ばねは「運動エネルギーを一時的に預かって返す」装置だ。もし面に摩擦があれば、その分エネルギーが減り、戻る速さは遅くなる。

別解

エネルギーの数値を先に出すルート(苦手な人向け)。 まず運動エネルギーを計算: $\frac{1}{2}\times 2.0\times 9.0=9.0\mathrm{J}$。これがそっくりばねに移る。

ばねが $x$ 縮んだときの弾性エネルギー $\frac{1}{2}\times 50\times x^2=25x^2$ が $9.0\mathrm{J}$ に等しいから $x^2=0.36$、$x=0.60\mathrm{m}$。$9.0\mathrm{J}$ という具体的な数を橋渡しにすると、エネルギーの移動が目に見える。