仕事率一定で加速する(仕事とエネルギーの融合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「仕事率一定」がこの問題の鍵だ。仕事率は $1$ 秒あたりの仕事だから、時間 $t$ の間にした仕事は単純に $W=Pt$(仕事率 × 時間)。

抵抗がなければ、この仕事はすべて運動エネルギーになる(エネルギーの原理)。

① した仕事。

$P=30\mathrm{kW}=3.0\times 10^4\mathrm{W}$ なので

$$W=Pt=3.0\times 10^4\times 10=3.0\times 10^5\mathrm{J}$$

② 運動エネルギーから速さ。

$$Pt=\frac{1}{2}m{v}^2⟹3.0\times 10^5=\frac{1}{2}\times 1000\times v^2$$

$$v^2=\frac{2\times 3.0\times 10^5}{1000}=600⟹v=\sqrt{600}=10\sqrt{6}\approx 24.5m/s$$

まとめ 注意すべきは、力が一定ではないこと。仕事率一定($P=Fv$)だと、速くなるほど力 $F=P/v$ は小さくなる。だから加速度は一定でなく、v-tグラフは直線にならない。「仕事率一定」と「力一定」はまったく違う運動を生む。それでもエネルギーの原理($Pt=\frac{1}{2}m{v}^2$)を使えば、力の変化を追わずに速さが出せるのが強みだ。

別解

単位を整理してから代入するルート(ミス防止)。 まず $30\mathrm{kW}=30000\mathrm{W}$ と直しておく。$10\mathrm{s}$ で仕事 $30000\times 10=300000\mathrm{J}$。

運動エネルギー $\frac{1}{2}\times 1000\times v^2=300000$ より $v^2=600$、$v=\sqrt{600}\approx 24.5m/s$。

キロ(k)を先に処理しておくと、$10^4$ の指数計算で桁を間違えにくい。kW を W に直す一手間が、この種の問題の事故を防ぐ。