跳ね返りとエネルギーの損失

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この運動は 3 つの場面に分かれる。落下(保存)→ 衝突(ここでエネルギーが失われる)→ 上昇(保存)。エネルギーが減るのは床との衝突の瞬間だけだ。

落下・上昇の各区間ではエネルギーが保存するので、速さは高さから $\sqrt{2gh}$ で出せる。

① はねかえり係数(速さの比)。

当たる直前の速さ $v_1=\sqrt{2g\times 2.0}$、跳ね返り直後の速さ $v_2=\sqrt{2g\times 1.28}$。比をとると $2g$ が消えて

$$\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{1.28}{2.0}}=\sqrt{0.64}=0.80$$

② エネルギーの損失割合。

力学的エネルギーは、床に当たる直前は $mg\times 2.0$、跳ね返り直後は $mg\times 1.28$。位置エネルギーの高さがそのままエネルギーの比になるので

$$\frac{\text{衝突後}}{\text{衝突前}}=\frac{1.28}{2.0}=0.64$$

失われた割合は $1-0.64=0.36=36\%$。

まとめ 速さの比は高さの比の平方根(運動エネルギーが速さの $2$ 乗だから)、エネルギーの比は高さの比そのまま。この違いが混乱のもとなので区別する。失われた $36\%$ は、衝突の音や熱、床と球のわずかな変形に変わった。ボールが跳ね返るたびに低くなるのは、毎回この割合でエネルギーを失うからだ。

別解

速さから直接エネルギー比を出すルート(確認)。 $v_1=\sqrt{2\times 9.8\times 2.0}=\sqrt{39.2}\approx 6.26m/s$、$v_2=\sqrt{2\times 9.8\times 1.28}=\sqrt{25.088}\approx 5.01m/s$。

運動エネルギーの比は $\frac{v_2^2}{v_1^2}=\frac{25.088}{39.2}=0.64$ で、高さの比と一致。速さの比は $\frac{5.01}{6.26}=0.80$。数値でも $e=0.80$、損失 $36\%$ が確かめられる。速さの比($0.80$)を $2$ 乗するとエネルギーの比($0.64$)になる関係が見える。