摩擦のある斜面を駆け上がる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 上りでは、重力成分も摩擦も両方ブレーキになる。初めの運動エネルギーが、位置エネルギーの増加と摩擦が奪うエネルギーの 2 つに使い尽くされて、速さ $0$ で止まる。

エネルギーの帳簿を、斜面に沿った距離 $L$ で立てる。

① エネルギー収支を立てる。

高さは $h=L\sin \theta$、摩擦のエネルギーは ${\mu }^{\prime }mg\cos \theta \cdot L$。

$$\frac{1}{2}m{v}^2=mgL\sin \theta +{\mu }^{\prime }mg\cos \theta \cdot L$$

両辺の $m$ を消して $L$ でくくると

$$\frac{1}{2}{v}^2=gL(\sin \theta +{\mu }^{\prime }\cos \theta )$$

② L と h を求める。

$\sin \theta +{\mu }^{\prime }\cos \theta =0.60+0.25\times 0.80=0.80$ なので

$$L=\frac{v^2}{2g\times 0.80}=\frac{7.0^2}{2\times 9.8\times 0.80}=\frac{49}{15.68}=3.125\mathrm{m}$$

$$h=L\sin \theta =3.125\times 0.60=1.875\mathrm{m}$$

まとめ もし摩擦がなければ $\sin \theta$ だけで $L=\frac{v^2}{2g\sin \theta }\approx 4.17\mathrm{m}$ 上れたはず。摩擦がある分、$3.125\mathrm{m}$ しか上れない。差の分のエネルギーが摩擦熱に消えた。「上り」は重力も摩擦もブレーキ、「下り」は重力が加速・摩擦がブレーキ — 前単元の摩擦斜面の往復と同じ構造が、エネルギーの言葉でも現れる。

別解

運動方程式で解くルート(検算)。 上りの加速度(減速)は $a=g(\sin \theta +{\mu }^{\prime }\cos \theta )=9.8\times 0.80=7.84m/{\mathrm{s}}^2$。時間を含まない公式で

$$L=\frac{v^2}{2a}=\frac{49}{15.68}=3.125\mathrm{m}$$

同じ答え。エネルギー収支 $\frac{1}{2}{v}^2=gL(\sin \theta +{\mu }^{\prime }\cos \theta )$ の右辺は、実は $aL$($a=g(\sin \theta +{\mu }^{\prime }\cos \theta )$)そのもの。$W=(\text{合力})\times L$ で 2 つの解法がつながっている。