物理基礎 / 仕事と力学的エネルギー

ばねと斜面を組み合わせる

★★★ 応用力学的エネルギー保存弾性エネルギー斜面

問題

なめらかな水平面となめらかな斜面(傾き $sin θ = 0.60$ )がつながっている。水平面上でばね定数 $200 N/m$ のばねを $0.30 m$ 縮め、質量 $0.90 kg$ の物体を押し当てて放した。物体はばねに押されて動き出し、斜面を上っていく。空気抵抗は無視でき、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

物体が斜面上で最も高く達する点の、水平面からの高さを求めよ。

ヒントを見る

ばねに蓄えたエネルギーが、いちばん高い点(そこで速さ 0)ではすべて位置エネルギーになっている。½kx²=mgh とおこう。

解答・解説

方針

ばねの弾性エネルギーが、最高到達点(速さ 0)では重力による位置エネルギーに変わる。½kx²=mgh。途中経過はすべて飛ばせる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 エネルギーの旅を追う。弾性エネルギー →(水平面で)運動エネルギー →(斜面を上って)位置エネルギー。最高点では速さ $0$ なので、弾性エネルギーがまるごと位置エネルギーに変わる。

すべてなめらかだから、途中で失われるエネルギーはない。始点(ばね縮み)と終点(最高点)を直接結べばよい。

① エネルギー保存を立てる。

$\frac{1}{2} k x^{2} = m g h$

② 高さを求める。

左辺 $= \frac{1}{2} \times 200 \times 0.3 0^{2} = \frac{1}{2} \times 200 \times 0.090 = 9.0 J$ 。

$h = \frac{9.0}{m g} = \frac{9.0}{0.90 \times 9.8} = \frac{9.0}{8.82} \approx 1.02 m$

約 $1.0 m$ 。

弾性 → 運動 → 位置。すべてなめらかなので合計 9.0 J のまま。到達高さは角度によらない

まとめ 答えの高さ $h$ には、斜面の角度が出てこない。なめらかなら「どこまで上るか」は高さで決まり、傾きが緩くても急でも到達する高さは同じ( $9.0 J$ 分)。もし斜面に沿った距離が知りたければ $L = \frac{h}{sin θ} = \frac{1.02}{0.60} \approx 1.7 m$ と、あとから角度を使えばよい。エネルギーは高さで、距離は角度で、と役割を分けて考える。

答

約 $1.0 m$ ( $\frac{9.0}{0.90 \times 9.8} \approx 1.02 m$ )

別解

斜面に沿った距離で立式するルート(遠回りの確認)。 斜面上向きの重力成分は $m g sin θ$ 。ばねのエネルギーがこの力に逆らって距離 $L$ 進んで尽きるとすると $\frac{1}{2} k x^{2} = m g sin θ \cdot L$ 。

$L = \frac{9.0}{0.90 \times 9.8 \times 0.60} = \frac{9.0}{5.292} \approx 1.70 m$ 。高さは $h = L sin θ = 1.70 \times 0.60 \approx 1.02 m$ 。

本解と一致するが、 $sin θ$ が途中に出てきて最後に消える。高さで結べば $sin θ$ を書かずに済むことが、この比較でわかる。

ポイント

弾性エネルギー → 位置エネルギー(最高点で速さ 0)
½kx²=mgh、到達高さは角度によらない
斜面に沿った距離が要るなら L=h/sinθ を後から

よくある間違い

斜面の角度がないと解けないと思う(高さは角度なしで出る)
½kx² の x を 2 乗し忘れる
水平面での運動エネルギーを別に足す(始点と終点だけで結べば途中は不要)