物理基礎 / 仕事と力学的エネルギー

なめらかな曲面上の運動(ジェットコースター)

★★★ 応用力学的エネルギー保存曲面

問題

なめらかな曲面上を小球が滑る。小球を高さ $5.0 m$ の点 A で静かに放した。空気抵抗は無視でき、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

なめらかな曲面。A(5.0 m)から放し、B(2.0 m)を通る。最下点で最速

(1) 高さ $2.0 m$ の点 B での速さを求めよ。

(2) 途中の最下点(高さ $0$ )での速さは、B での速さより大きいか小さいか。理由とともに答えよ。

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曲面がどんな形でも、なめらかなら垂直抗力は仕事をしない。だから 2 点間の速さは高さの差だけで決まる。A と B の高さの差に注目しよう。

解答・解説

なめらかな曲面では垂直抗力が仕事をせず力学的エネルギー保存。曲面の形によらず、2 点の高さの差だけで速さの関係が決まる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲面はうねっていて複雑に見えるが、なめらかなら垂直抗力は運動方向に垂直で仕事をしない。仕事をするのは重力だけだから、力学的エネルギーが保存する。

すると、曲面の形がどうであれ、2 点の高さの差だけで速さが決まる。斜面や振り子と同じ原理だ。

① B での速さ。

A(高さ $5.0$ 、速さ $0$ )と B(高さ $2.0$ 、速さ $v_{B}$ )で力学的エネルギー保存。

$m g \times 5.0 = m g \times 2.0 + \frac{1}{2} m v_{B}^{2}$

両辺の $m$ を消して整理すると

$\frac{1}{2} v_{B}^{2} = g (5.0 - 2.0) = 9.8 \times 3.0 ⟹ v_{B}^{2} = 58.8$

$v_{B} = 58.8 \approx 7.67 m/s$

② 最下点との比較。

最下点は B より低い(位置エネルギーが小さい)。エネルギーの総和は一定だから、位置エネルギーが小さい点ほど運動エネルギーが大きい=速さが大きい。よって最下点の方が速い。

まとめ 「低い所ほど速い」— 位置エネルギーと運動エネルギーがシーソーのように入れ替わる。ジェットコースターが谷底で最速になるのはこのためだ。速さは高さだけで決まるので、同じ高さの点ならどこでも速さは同じ(たとえ登り坂の途中でも)。

答

(1) $58.8 \approx 7.67 m/s$ (約 $7.7 m/s$ ) (2) 最下点の方が大きい。低い点ほど位置エネルギーが小さく、そのぶん運動エネルギーが大きいから

基準を最下点にとって考えるルート(見通しよく)。 最下点を高さ $0$ の基準にすると、全エネルギーは A で $m g \times 5.0$ 。どの点でも $\frac{1}{2} m v^{2} = m g (5.0 - その点の高さ)$ 。

高さが低いほど右辺(=運動エネルギー)が大きく、速さも大きい、と数式で一目瞭然になる。