物理基礎 / 熱とエネルギー

熱い鉄を水に入れる

★★ 標準熱量の保存混合

問題

$300$ ℃ に熱した鉄 $200 g$ を、 $20$ ℃ の水 $500 g$ に入れた。外部との熱の出入りはないとする。鉄の比熱を $0.45 J/ (g \cdot K)$ 、水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ として、全体の温度を求めよ。

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鉄が失う熱(300→T)と水が得る熱(20→T)を等しくおく。鉄は比熱が小さく質量も小さいので、平衡温度は水寄りになる。

解答・解説

方針

鉄が失う熱=水が得る熱。それぞれ mcΔT。平衡温度 T について式を立てて解く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 熱い鉄が失った熱を水が受け取る。失う熱=得る熱、で平衡温度 $T$ を求める。

鉄が失う熱=水が得る熱。熱容量の大きい水が温度をほぼ決め、平衡は約 32℃

① 保存の式を立てる。

鉄は $300$ ℃ → $T$ 、水は $20$ ℃ → $T$ 。

$200 \times 0.45 \times (300 - T) = 500 \times 4.2 \times (T - 20)$

② 整理して解く。

$90 (300 - T) = 2100 (T - 20)$

$27000 - 90 T = 2100 T - 42000 ⟹ 2190 T = 69000 ⟹ T \approx 31.5^{\circ} C$

まとめ $300$ ℃ もあった鉄を入れたのに、平衡温度は $32$ ℃ ほどにしかならない。鉄の熱容量 $200 \times 0.45 = 90 J/K$ が、水の $500 \times 4.2 = 2100 J/K$ に比べて桁違いに小さいからだ。熱容量の大きい水が温度をほぼ決める。鍛冶で赤熱した鉄を水に入れると一気に冷えるのは、この熱容量差による。

答

約 $32$ ℃( $31.5$ ℃)

別解

熱容量の比で見るルート(得意な人向け)。 鉄の熱容量 $90 J/K$ 、水の熱容量 $2100 J/K$ 。温度変化は熱容量の逆比だから、鉄の温度降下:水の温度上昇 $= 2100 : 90 \approx 23 : 1$ 。

全体の温度差 $300 - 20 = 280 K$ を $23 : 1$ に分けると、水の上昇は $280 \times \frac{1}{24} \approx 11.7 K$ 。平衡は $20 + 11.7 \approx 31.7$ ℃(端数は四捨五入の差)。熱容量比から素早く見積もれる。

ポイント

鉄が失う熱=水が得る熱
平衡温度は熱容量の大きい水寄り
赤熱鉄が水で急冷するのは熱容量差

よくある間違い

鉄と水の比熱を取り違える(鉄 0.45、水 4.2)
鉄の高温 300℃ に引きずられ平衡温度を高く見積もる
温度変化の向き(鉄は下がる、水は上がる)を誤る