物理基礎 / 熱とエネルギー

容器の熱容量を含む混合

★★ 標準熱量の保存熱容量

問題

熱容量 $30 J/K$ の容器に $20$ ℃ の水 $150 g$ が入っている。ここへ $90$ ℃ のお湯 $100 g$ を注いでよくかき混ぜた。外部への熱の逃げはないとして、全体の温度を求めよ。水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ とする。

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冷たい側は「水」と「容器」の 2 つが温まる。容器の熱容量も、水の mc と同じように「得る熱」に足そう。

解答・解説

方針

お湯が失う熱=(水+容器)が得る熱。容器も水と同じ温度変化をするので、容器の熱容量も「得る側」に加える。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問との違いは容器も温まること。容器は中の水と同じ温度になるまで熱を受け取る。だから「得る側」は水と容器の $2$ つ。

容器の受け取る熱は(熱容量)×(温度変化) $= C Δ T$ で、水の $m c Δ T$ と同じように足す。

お湯が失う熱=水+容器が得る熱。容器の熱容量も勘定に入れる

① 平衡温度を $T$ とおく。

お湯が失う熱 = 水が得る熱 + 容器が得る熱。

$100 \times 4.2 \times (90 - T) = 150 \times 4.2 \times (T - 20) + 30 \times (T - 20)$

② 整理して解く。

右辺は $(150 \times 4.2 + 30) (T - 20) = (630 + 30) (T - 20) = 660 (T - 20)$ 。左辺は $420 (90 - T)$ 。

$420 (90 - T) = 660 (T - 20)$

$37800 - 420 T = 660 T - 13200 ⟹ 1080 T = 51000 ⟹ T \approx 47.2^{\circ} C$

まとめ 容器の熱容量 $30 J/K$ は水 $150 g$ 相当( $630 J/K$ )に比べ小さいが、無視すると平衡温度が少しずれる。温まるものは全部、得る側に入れるのが混合問題の鉄則。容器・温度計なども熱容量があれば数える。

答

約 $47$ ℃( $47.2$ ℃)

別解

水当量に置きかえるルート(得意な人向け)。 容器の熱容量 $30 J/K$ は、水 $\frac{30}{4.2} \approx 7.1 g$ 分に相当する(同じ熱容量の水の質量=水当量)。

つまり「水 $150 + 7.1 = 157.1 g$ 」があると思えばよい。 $100 \times 4.2 \times (90 - T) = 157.1 \times 4.2 \times (T - 20)$ を解いても同じ $T \approx 47.2$ ℃。容器を水に換算すると、式が水だけの形に統一できる。

ポイント

温まるものは全部「得る側」に入れる(容器も)
容器の熱=CΔT(熱容量×温度変化)
容器は水当量(水の質量)に換算してもよい

よくある間違い

容器の熱容量を忘れる(平衡温度がずれる)
容器に比熱と質量を別々に使う(容器は熱容量 C が与えられている)
お湯・水・容器の温度変化の向きを取り違える