熱機関のサイクルと効率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 熱機関は同じ状態を繰り返す(サイクル)。$1$ サイクルで気体は元に戻るので、内部エネルギーの変化は $0$。すると第1法則から、仕事は「受け取った熱 − 捨てた熱」になる。

① 仕事。

$\Delta U=0$ なので、正味の仕事 = 受け取った熱 − 捨てた熱。

$$W=Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}=1200-800=400\mathrm{J}$$

② 熱効率。

$$e=\frac{W}{Q_{\text{in}}}=\frac{400}{1200}=\frac{1}{3}\approx 0.33$$

まとめ 「受け取った熱 = 仕事 + 捨てた熱」($1200=400+800$)はエネルギー保存そのもの。効率 $\frac{1}{3}$ は、受け取った熱の $3$ 分の $1$ しか仕事にならないこと。排熱 $800\mathrm{J}$ を捨てないと元の状態に戻れない(サイクルを続けられない)というのが、熱機関に排熱が必要な深い理由だ。

別解

排熱の割合から効率を出すルート(得意な人向け)。 受け取った熱のうち $\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}=\frac{800}{1200}=\frac{2}{3}$ が捨てられる。残りが仕事になるから、効率は

$$e=1-\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$

仕事を経由せず「$1$ − 捨てた割合」で効率が出る。$e=1-\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}$ は熱効率の重要な別表現だ。