物理基礎 / 熱とエネルギー

氷で湯を冷やす(全部融ける総合)

★★★ 応用熱量の保存潜熱融解

問題

$50$ ℃ の湯 $400 g$ に、 $0$ ℃ の氷 $100 g$ を入れた。氷はすべて融け、全体が一定の温度になった。外部との熱の出入りはない。氷の融解熱を $336 J/g$ 、水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ とする。

(1) 氷がすべて融けることを確かめよ。

(2) 全体の温度を求めよ。

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まず湯が出せる最大の熱と、氷を全部融かすのに要る熱を比べて、全部融けるか確認。次に潜熱と昇温を氷側に、湯の降温を等しくおく。

解答・解説

(1)湯が 0℃ まで下がって出せる熱と、氷を全部融かす熱を比べる。(2)氷側=潜熱+融けた水の昇温、湯側=降温、で保存の式を立てる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 氷の問題はまず全部融けるか確認(標準 s10 の教訓)。湯が出せる熱が氷を全部融かす熱を上回れば全部融ける。その上で保存の式を立てる。

湯が出せる熱(84000 J)>氷を融かす熱(33600 J)。全部融けて平衡 24℃

① 全部融けるか確認。

$84000 > 33600$ なので氷は全部融け、さらに温度が上がる余地がある( $T > 0$ ℃)。

② 保存の式。

氷側 = 融解の潜熱 + 融けた水( $100 g$ 、 $0$ ℃)を $T$ まで温める熱。湯側 = $50$ ℃ から $T$ への降温。

$400 \times 4.2 \times (50 - T) = 100 \times 336 + 100 \times 4.2 \times T$

$1680 (50 - T) = 33600 + 420 T$

$84000 - 1680 T = 33600 + 420 T ⟹ 2100 T = 50400 ⟹ T = 24^{\circ} C$

まとめ 手順は「① 全部融けるか確認 → ② 潜熱+昇温で保存」。①を飛ばすと、もし融けきらない場合に間違える。今回は湯が十分熱いので全部融け、平衡は $24$ ℃。氷 $100 g$ は、融解熱のぶん( $33600 J$ )余計に湯を冷やしている。

答

(1) 湯が出せる熱 $84000 J$ > 氷を全部融かす熱 $33600 J$ なので全部融ける (2) $24$ ℃

融解を先に済ませて考えるルート(苦手な人向け)。 湯 $400 g$ がまず氷 $100 g$ を融かす( $33600 J$ 使う)。このとき湯は $\frac{33600}{400 \times 4.2} = 20 K$ 下がって $30$ ℃ になる。

次に「 $30$ ℃ の水 $400 g$ 」と「 $0$ ℃ の水 $100 g$ 」の混合。 $\frac{400 \times 30 + 100 \times 0}{500} = 24$ ℃。 $2$ 段階に分けても同じ答え。融解を先に切り離すと、あとは単純な水どうしの混合になる。