発電所からの送電(総合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実際の送電に近い数値での総合問題である。やることは「電流を出す → ジュール熱を出す → 引き算」の 3 段だけ。桁が大きいので、10 のべきを分けて処理するのが事故防止のコツになる。

① 送電線の電流。

$$I=\frac{P}{V}=\frac{5.0\times 10^5}{1.0\times 10^4}=50\mathrm{A}$$

② 送電線での損失。

$$p=r{I}^2=4.0\times 50^2=4.0\times 2500=1.0\times 10^4\mathrm{W}$$

割合は

$$\frac{p}{P}=\frac{1.0\times 10^4}{5.0\times 10^5}=0.020=2.0\%$$

③ 届く電力。

$$P^{\prime }=P-p=5.0\times 10^5-1.0\times 10^4=4.9\times 10^5\mathrm{W}$$

まとめ $98\%$ が届く計算になった。もし変圧せず $1000\mathrm{V}$ のまま送れば、電流は $500\mathrm{A}$、損失は $4.0\times 25\times 10^4=1.0\times 10^6\mathrm{W}$ となり、送る電力より損失が大きい(すべて熱で消える)。昇圧してから送る意味が、数値で骨身にしみる問題である。

別解

割合を先に見積もるルート(得意な人向け)。 損失率は $\frac{p}{P}=\frac{rP}{V^2}$ と 1 本の式にできる($p=r{P}^2/V^2$ を $P$ で割った)。

$$\frac{rP}{V^2}=\frac{4.0\times 5.0\times 10^5}{(1.0\times 10^4{)}^2}=\frac{2.0\times 10^6}{1.0\times 10^8}=0.020$$

先に「損失 2 %」と出せば、届く電力は $98\%$ で $4.9\times 10^5\mathrm{W}$、損失は $1.0\times 10^4\mathrm{W}$ と逆算でそろう。